Uma carga pontual de 5 nC está localizada em ( -3,4,0 ), enquanto que uma linha em ( y=1, z=1 ) esta carregada uniformemente com 2 \mathrm{nC} / \mathrm{m}.
Se V=0 \mathrm{~V} em ( 0,0,0 ), determine V em (5,0,1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Uma carga pontual de 5\\ \mathrm{nC} está localizada em (-3,\,4,\,0).
  • Uma linha (reta) paralela ao eixo x passa por y=1,\\ z=1 e está carregada uniformemente com densidade linear \lambda=2\\ \mathrm{nC/m}. (Ou seja: a linha é toda a reta com coordenadas (x,\,1,\,1) para todo x.)
  • O potencial elétrico é fixado como V=0\\ \mathrm{V} no ponto (0,0,0).
  • Pergunta: determine o potencial V no ponto (5,0,1).
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda): posições das fontes e dos pontos, valor de q, valor de \lambda, referência V(0,0,0)=0.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (sem cálculos ainda): pelo princípio da superposição, o potencial total em (5,0,1) é a soma do potencial devido à carga pontual e do potencial devido à linha carregada. Como a referência V(0,0,0)=0 é dada, calcularemos a diferença de potencial entre (5,0,1) e (0,0,0) para cada contribuição e somaremos.

Passo 3

Potencial devido à carga pontual — fórmula e ideia: o potencial gerado por uma carga pontual q a uma distância r é
V_{\text{pt}}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Como a referência é V(0,0,0)=0, o valor da contribuição da carga pontual no ponto pedido é a diferença
V_{\text{pt}}(5,0,1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\frac{1}{R_{\text{alvo}}}-\frac{1}{R_{\text{orig}}}\right),
onde R_{\text{alvo}} é a distância da carga pontual até (5,0,1) e R_{\text{orig}} é a distância até (0,0,0).
Agora calculamos as distâncias (mostrando passo a passo): posição da carga (-3,4,0).
R_{\text{orig}}=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
R_{\text{alvo}}=\sqrt{(-3-5)^2+(4-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-8)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9.
Substituindo em V_{\text{pt}} (usando q=5\\ \mathrm{nC}=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}):
V_{\text{pt}}=\;k\,q\!\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{5}\right) = k\,q\left(\frac{5-9}{45}\right) = k\,q\left(-\frac{4}{45}\right).
Numericamente:
V_{\text{pt}}\approx 8{,}987551792\times10^{9}\times 5\times10^{-9}\times\left(-\tfrac{4}{45}\right) \approx -3{,}99446744\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Potencial devido à linha infinita paralela a x — derivação rápida e fórmula: para uma linha infinita com densidade linear \lambda, o campo elétrico a distância radial r da linha (no plano perpendicular à linha) é
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r},
direcionado radialmente. O potencial relativo entre duas distâncias r_0 e r é obtido por
V(r)-V(r_0)=-\int_{r_0}^{r}E(r')\,dr'=-\int_{r_0}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'}dr' =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right).
Logo
V(r)=V(r_0)+\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right).
Usaremos V(0,0,0)=0 como V(r_0) com r_0 sendo a distância do ponto origem à linha; e r a distância do ponto alvo (5,0,1) à linha.

Passo 5

Calcular distâncias perpendiculares da linha (a linha está em y=1,z=1, paralela ao eixo x). A distância de um ponto (x,y,z) até essa linha é
r=\sqrt{(y-1)^2+(z-1)^2}.
Para a origem (0,0,0):
r_{\text{orig}}=\sqrt{(0-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Para o ponto alvo (5,0,1):
r_{\text{alvo}}=\sqrt{(0-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{1+0}=1.
Agora a contribuição do fio (usando \lambda=2\\ \mathrm{nC/m}=2\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}):
V_{\text{fio}}(5,0,1)=0+\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_{\text{orig}}}{r_{\text{alvo}}}\right) =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{1}\right).
Calculando numericamente (primeiro o fator):
\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}=\frac{2\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})}\approx 35{,}945\\ \mathrm{V}.
E \ln(\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0{,}34657359. Portanto
V_{\text{fio}}\approx 35{,}945\times 0{,}34657359\approx 12{,}456000\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Somando as duas contribuições (superposição):
V_{\text{total}}=V_{\text{pt}}+V_{\text{fio}}\approx -3{,}99446744\\ \mathrm{V} + 12{,}456000\\ \mathrm{V} \approx 8{,}4615326\\ \mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
V(5,0,1)\approx 8{,}46\\ \mathrm{V}.

Resposta

8,46\\ \mathrm{V}

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