Uma carga puntiforme de
está localizada no centro de uma cavidade esférica com raio igual a
no interior de um corpo sólido isolado. A densidade de carga no sólido é
. Calcule o campo elétrico no interior do sólido a uma distância de
Passo 1
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Carga pontual no centro da cavidade:
. - Raio da cavidade:
. - Região sólida tem densidade volumétrica de carga uniforme:
. - Pede-se o campo elétrico no interior do sólido a uma distância do centro igual a
.
O que precisa ser encontrado:
- O valor do campo elétrico
(módulo e direção) no ponto situado a a partir do centro da cavidade.
Passo 2
Idea física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para problemas com simetria esférica, uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo ponto permite aplicar a Lei de Gauss de forma simples.
- A Lei de Gauss em forma integral é:
onde
é a carga total contida no interior da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo (
).
- Para uma superfície esférica de raio
e simetria radial, tem módulo constante na superfície e direção radial, então o lado esquerdo vira . Assim:
Aqui
é o módulo do campo na distância
e
é a soma das cargas internas à esfera de raio
.
Passo 3
Calcular a carga total contida dentro da esfera de raio
.
- Componentes de
: - A carga pontual
(está no interior porque está no centro). - A carga distribuída no material sólido entre o raio da cavidade
e . Como a densidade é uniforme, a carga dessa casca esférica é:
- A carga pontual
- Substituindo os valores numéricos (mostrando passos nos cálculos):
- Primeiro calcular
e :
- Primeiro calcular
- Diferença:
- Volume da casca:
- Carga da parte sólida dentro do raio
:
Passo 4
Somar as contribuições para obter
:
(Observação: a contribuição da carga pontual
é desprezível frente aos
do sólido, mas foi somada para consistência.)
Passo 5
Calcular o módulo do campo usando
. É prático usar a constante
. Então:
Substituindo números (com passos):
-
. - Produto
:
- Dividindo por
:
Direção: como
é positivo (resultado positivo), o campo é radial apontando para fora do centro.