Uma carga puntiforme de -3,00 \mu \mathrm{C} está localizada no centro de uma cavidade esférica com raio igual a 6,50 \mathrm{~cm} no interior de um corpo sólido isolado. A densidade de carga no sólido é \rho=7,35 \times 10^{4} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o campo elétrico no interior do sólido a uma distância de 9,50 \mathrm{~cm}

Passo 1

Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Carga pontual no centro da cavidade: Q_{\text{p}} = -3,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Raio da cavidade: a = 6,50\\ \mathrm{cm} = 0,0650\\ \mathrm{m}.
  • Região sólida tem densidade volumétrica de carga uniforme: \rho = 7,35\times10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
  • Pede-se o campo elétrico no interior do sólido a uma distância do centro igual a r = 9,50\\ \mathrm{cm} = 0,0950\\ \mathrm{m}.
O que precisa ser encontrado:
  • O valor do campo elétrico \mathbf{E} (módulo e direção) no ponto situado a r=0,0950\\ \mathrm{m} a partir do centro da cavidade.

Passo 2

Idea física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para problemas com simetria esférica, uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo ponto permite aplicar a Lei de Gauss de forma simples.
  • A Lei de Gauss em forma integral é:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície gaussiana e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
  • Para uma superfície esférica de raio r e simetria radial, \mathbf{E} tem módulo constante na superfície e direção radial, então o lado esquerdo vira E\cdot 4\pi r^{2}. Assim:
E=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Aqui E é o módulo do campo na distância r e Q_{\text{int}} é a soma das cargas internas à esfera de raio r.

Passo 3

Calcular a carga total contida dentro da esfera de raio r=0,0950\\ \mathrm{m}.
  • Componentes de Q_{\text{int}}:
    1. A carga pontual Q_{\text{p}} = -3,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (está no interior porque está no centro).
    2. A carga distribuída no material sólido entre o raio da cavidade a e r. Como a densidade é uniforme, a carga dessa casca esférica é:
Q_{\text{sólido}}=\rho\cdot V_{\text{casca}}=\rho\cdot\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}-\frac{4}{3}\pi a^{3}\right)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi\left(r^{3}-a^{3}\right).ó
  • Substituindo os valores numéricos (mostrando passos nos cálculos):
    • Primeiro calcular r^{3} e a^{3}: r^{3}=(0,0950)^{3}=0,000857375\\ \mathrm{m^{3}},
a^{3}=(0,0650)^{3}=0,000274625\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Diferença: r^{3}-a^{3}=0,000857375-0,000274625=0,000582750\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume da casca: V_{\text{casca}}=\frac{4}{3}\pi\left(r^{3}-a^{3}\right)\approx 4{,}188790205\cdot 0,000582750 \approx 0,00244112\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Carga da parte sólida dentro do raio r: Q_{\text{sólido}}=\rho\,V_{\text{casca}}=7{,}35\times10^{4}\cdot 0,00244112 \approx 179{,}411\\ \mathrm{C}.ó

Passo 4

Somar as contribuições para obter Q_{\text{int}}:
Q_{\text{int}}=Q_{\text{p}}+Q_{\text{sólido}}=-3{,}00\times10^{-6}+179{,}411\\ \mathrm{C}\approx 179{,}411\\ \mathrm{C}.ó
(Observação: a contribuição da carga pontual -3{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} é desprezível frente aos \sim179{,}4\\ \mathrm{C} do sólido, mas foi somada para consistência.)

Passo 5

Calcular o módulo do campo usando E=\dfrac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}. É prático usar a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Então:
E=k\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}}.
Substituindo números (com passos):
  • r^{2}=(0,0950)^{2}=0,009025\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Produto kQ_{\text{int}}:
k\,Q_{\text{int}}\approx 8{,}987551792\times10^{9}\cdot 179{,}411 \approx 1{,}612466\times10^{12}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Dividindo por r^{2}:
E\approx \frac{1{,}612466\times10^{12}}{0,009025}\approx 1{,}7859\times10^{14}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como Q_{\text{int}} é positivo (resultado positivo), o campo é radial apontando para fora do centro.

Resposta

\displaystyle E\approx 1{,}79\times10^{14}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora)

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