Exemplo 4 Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)\) sendo \(f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x<1 \\\\ 2 x & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x\) tende a \(1\) da função definida por partes \[f(x)= \begin{cases} x^{2} & \text{se } x<1,\\[4pt] 2x & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função tem duas fórmulas: uma válida para x<1\] e outra para \(x>1.
  • Não há definição explícita de f(1) no enunciado (ou seja, f(1) não foi dada).
  • A pergunta é: calcular \lim_{x\to1} f(x), ou justificar por que esse limite não existe.]

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma simples): para que o limite \lim_{x\to1} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja:
\lim_{x\to1} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to1^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1) e \lim_{x\to1^+} f(x) é o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). No caso de funções definidas por partes, o método padrão é calcular esses dois limites separadamente usando a expressão da função válida em cada lado.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<1 a função vale f(x)=x^{2}. Funções polinomiais são contínuas em todos os pontos, o que significa que o limite quando x tende a 1 pela esquerda é simplesmente o valor da expressão em x=1. Portanto,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Explicando de modo bem direto: ao aproximar x de 1 por valores menores (como 0{,}9, 0{,}99, \dots), x^{2} tende a 1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x>1 a função vale f(x)=2x. Novamente, 2x é uma função linear (portanto contínua), então o limite pela direita é o valor da expressão em x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 2x=2\cdot 1=2.
Ou seja, ao aproximar x de 1 por valores maiores (como 1{,}1, 1{,}01, \dots), 2x tende a 2.

Passo 5

Comparar os limites laterais. Encontramos
\lim_{x\to1^-} f(x)=1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=2.
Como os dois limites laterais são diferentes, a condição necessária e suficiente para existência do limite total não é satisfeita. Portanto o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe.
Observação extra útil para prova: o fato de f(1) não estar definido (ou estar definido de qualquer maneira) não altera essa conclusão — o limite depende só do comportamento de f ao se aproximar de 1, e aqui há uma “queda” (jump) entre 1 e 2.

Passo 6

Como dica prática para a prova: ao ver um limite de função definida por partes no ponto de troca, calcule sempre os dois limites unilaterais usando a fórmula válida em cada lado; se forem iguais, esse é o limite. Se forem diferentes, escreva claramente que os limites laterais são diferentes e conclua que o limite não existe. Isso é rápido e convincente.

Resposta

\lim_{x\to1} f(x) não existe.

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