Exemplo 4 Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função tem duas fórmulas: uma válida para .
- Não há definição explícita de
no enunciado (ou seja, não foi dada). - A pergunta é: calcular
, ou justificar por que esse limite não existe.]
Passo 2
Conceito importante (explicado de forma simples): para que o limite
exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja:
Aqui
é o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (valores menores que
) e
é o limite quando
se aproxima de
pela direita (valores maiores que
). No caso de funções definidas por partes, o método padrão é calcular esses dois limites separadamente usando a expressão da função válida em cada lado.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda. Para
a função vale
. Funções polinomiais são contínuas em todos os pontos, o que significa que o limite quando
tende a
pela esquerda é simplesmente o valor da expressão em
. Portanto,
Explicando de modo bem direto: ao aproximar
de
por valores menores (como
,
,
),
tende a
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita. Para
a função vale
. Novamente,
é uma função linear (portanto contínua), então o limite pela direita é o valor da expressão em
:
Ou seja, ao aproximar
de
por valores maiores (como
,
,
),
tende a
.
Passo 5
Comparar os limites laterais. Encontramos
Como os dois limites laterais são diferentes, a condição necessária e suficiente para existência do limite total não é satisfeita. Portanto o limite
não existe.
Observação extra útil para prova: o fato de
não estar definido (ou estar definido de qualquer maneira) não altera essa conclusão — o limite depende só do comportamento de
ao se aproximar de
, e aqui há uma “queda” (jump) entre
e
.
Passo 6
Como dica prática para a prova: ao ver um limite de função definida por partes no ponto de troca, calcule sempre os dois limites unilaterais usando a fórmula válida em cada lado; se forem iguais, esse é o limite. Se forem diferentes, escreva claramente que os limites laterais são diferentes e conclua que o limite não existe. Isso é rápido e convincente.