\lim _{x \rightarrow-\infty}\left[2^{x}+2^{-x}\right]

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\bigl[2^{x}+2^{-x}\bigr].
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é 2^{x}+2^{-x}.
  • A variável x tende para -\infty.
  • Não há outras condições nem parâmetros.

Passo 2

Uma identidade algébrica útil para simplificar a análise é
2^{-x}=\frac{1}{2^{x}}.
Vou usar essa relação para entender o comportamento de cada parcela quando x\to -\infty.

Passo 3

Lembrete didático sobre exponenciais (passo-a-passo, sem jargão):
  • Para uma base fixa maior que 1 (aqui a base é 2), a função x\mapsto 2^{x} é crescente.
  • Quando x\to+\infty, 2^{x}\to+\infty (cresce sem limite).
  • Quando x\to-\infty, 2^{x}\to 0^{+} (decai para zero, sempre positivo).
    Uma forma simples de ver o último ponto é escrever 2^{x}=1/2^{-x}. Se x\to -\infty então -x\to +\infty e 2^{-x} cresce para +\infty, então 2^{x}=1/2^{-x} tende a 0.

Passo 4

Avaliar cada parcela da soma separadamente:
  • Para a primeira parcela,
\lim_{x\to -\infty}2^{x}=0,
porque, como explicado, exponenciais com base maior que 1 tendem a zero quando o expoente vai para -\infty.
  • Para a segunda parcela, usando a identidade do Passo 2,
2^{-x}=\frac{1}{2^{x}}.
Como 2^{x}\to 0^{+} quando x\to -\infty, temos que \dfrac{1}{2^{x}} cresce sem limite; isto é,
\lim_{x\to -\infty}2^{-x}=+\infty.

Passo 5

Somar os limites: se uma parcela tende a +\infty e a outra parcela tende a um número finito ( 0), a soma tende a +\infty. Em termos intuitivos: adicionar um número finito a algo que cresce sem limite ainda dá algo que cresce sem limite. Formalmente, para qualquer M>0 existe N tal que para x<N tem-se 2^{-x}>M; então 2^{x}+2^{-x}>M.

Passo 6

Conclusão final do cálculo do limite: a soma diverge para mais infinito, logo
\lim_{x\to -\infty}\bigl[2^{x}+2^{-x}\bigr]=+\infty.

Resposta

+\infty

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