Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão a ser estudada é
. - A variável
tende para . - Não há outras condições nem parâmetros.
Passo 2
Uma identidade algébrica útil para simplificar a análise é
Vou usar essa relação para entender o comportamento de cada parcela quando
.
Passo 3
Lembrete didático sobre exponenciais (passo-a-passo, sem jargão):
- Para uma base fixa maior que
(aqui a base é ), a função é crescente. - Quando
, (cresce sem limite). - Quando
, (decai para zero, sempre positivo).
Uma forma simples de ver o último ponto é escrever. Se então e cresce para , então tende a .
Passo 4
Avaliar cada parcela da soma separadamente:
- Para a primeira parcela,
porque, como explicado, exponenciais com base maior que
tendem a zero quando o expoente vai para
.
- Para a segunda parcela, usando a identidade do Passo 2,
Como
quando
, temos que
cresce sem limite; isto é,
Passo 5
Somar os limites: se uma parcela tende a
e a outra parcela tende a um número finito (
), a soma tende a
. Em termos intuitivos: adicionar um número finito a algo que cresce sem limite ainda dá algo que cresce sem limite. Formalmente, para qualquer
existe
tal que para
tem-se
; então
.
Passo 6
Conclusão final do cálculo do limite: a soma diverge para mais infinito, logo