Exercício 1 Calcule.
k) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve a função \sqrt{x}.
  • Quer-se o comportamento da fração quando x se aproxima de 3.
  • Não há figura nem outros dados.

Passo 2

Verificar substituição direta para identificar o tipo de indeterminação. Substituindo x=3 em numerador e denominador:
\sqrt{3}-\sqrt{3}=0,\qquad 3-3=0,
portanto a forma é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia básica muito usada nesses limites: racionalizar o numerador usando o conjugado. O conjugado de \sqrt{x}-\sqrt{3} é \sqrt{x}+\sqrt{3}. Usamos a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que neste caso dá (\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})=x-3. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{3} (ou seja, por 1 escrito de forma útil):
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} = \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})},
válido para x\neq 3.

Passo 4

Cancelar o fator comum x-3 (podemos porque estamos olhando para x próximos de 3 mas não igual a 3):
\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\quad\text{(para \(x\neq3\))}.
Agora a função \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} é contínua em x=3 porque o denominador em x=3 é 2\sqrt{3}\neq0. Logo o limite é obtido substituindo x=3 nessa expressão:
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 5

Comentário extra para motivar: este procedimento é o que se usa sempre que aparece \tfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}. Alternativamente, esse limite é exatamente a definição do derivada de \sqrt{x} em x=3, portanto também poderia ser obtido lembrando que (\sqrt{x})'=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} e avaliando em x=3. Seja pela racionalização ou pela derivada, o resultado é o mesmo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}

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