Exercício 1 Calcule.
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve a função
. - Quer-se o comportamento da fração quando
se aproxima de . - Não há figura nem outros dados.
Passo 2
Verificar substituição direta para identificar o tipo de indeterminação. Substituindo
em numerador e denominador:
portanto a forma é
, uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia básica muito usada nesses limites: racionalizar o numerador usando o conjugado. O conjugado de
é
. Usamos a identidade
que neste caso dá
. Multiplicamos numerador e denominador por
(ou seja, por
escrito de forma útil):
válido para
.
Passo 4
Cancelar o fator comum
(podemos porque estamos olhando para
próximos de
mas não igual a
):
Agora a função
é contínua em
porque o denominador em
é
. Logo o limite é obtido substituindo
nessa expressão:
Passo 5
Comentário extra para motivar: este procedimento é o que se usa sempre que aparece
. Alternativamente, esse limite é exatamente a definição do derivada de
em
, portanto também poderia ser obtido lembrando que
e avaliando em
. Seja pela racionalização ou pela derivada, o resultado é o mesmo.