Um capacitor cilíndrico com r_{1}=0.02 \mathrm{~m}, r_{2}=0.04 \mathrm{~m}, L=1 \mathrm{~m}, \mathrm{e} \epsilon_{r}=4 é submetido a V=200 \mathrm{~V}. Calcule o campo vetorial \mathbf{E} e a energia armazenada usando integrais em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado apresenta um capacitor cilíndrico de comprimento L, raio interno r_{1} e raio externo r_{2}, imerso num dielétrico de permissividade \epsilon=\epsilon_{0}\,\epsilon_{r}. Está submetido a uma diferença de potencial V. Podemos obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) usando a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas e depois calcular a energia armazenada integrando a densidade de energia u=\tfrac12\,\epsilon\,E^{2} sobre o volume do dielétrico.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss a um cilindro coaxial de raio r (com r_{1}<r<r_{2}) e comprimento L, temos
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E(r)\,(2\pi rL) =\frac{\lambda_{\rm livre}}{\epsilon}
onde \lambda_{\rm livre} é a densidade de carga linear no condutor interno. Logo
E(r) =\frac{\lambda_{\rm livre}}{2\pi\epsilon\,r} \quad,\quad \mathbf{E}(r) =\frac{\lambda_{\rm livre}}{2\pi\epsilon\,r}\,\hat{e}_{r}.

Passo 3

A diferença de potencial entre os cilindros é
V =-\int_{r_{1}}^{r_{2}}E(r)\,dr =-\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{\lambda_{\rm livre}}{2\pi\epsilon\,r}\,dr =\frac{\lambda_{\rm livre}}{2\pi\epsilon}\,\ln\!\biggl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\biggr).
Isolando \lambda_{\rm livre} e substituindo em E(r),
\lambda_{\rm livre} =\frac{2\pi\epsilon\,V}{\ln(r_{2}/r_{1})} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(r) =\frac{V}{r\,\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}\,\hat{e}_{r} \quad(r_{1}<r<r_{2}).

Passo 4

A energia armazenada é
U =\int_{\text{volume}}\tfrac12\,\epsilon\,E^{2}\,dV =\int_{r_{1}}^{r_{2}}\tfrac12\,\epsilon \biggl(\frac{V}{r\,\ln(r_{2}/r_{1})}\biggr)^{2} \bigl(2\pi rL\,dr\bigr).
Fazendo a integral em r:
U =\frac{\epsilon\,V^{2}\,2\pi L}{2\,\ln^{2}(r_{2}/r_{1})} \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r} =\frac{\epsilon\,\pi L\,V^{2}}{\ln^{2}(r_{2}/r_{1})} \ln\!\biggl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\biggr) =\frac{\epsilon\,\pi L\,V^{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}.
Substituindo valores numéricos:
\epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},
\epsilon_{r}=4,
r_{1}=0{,}02\,\mathrm{m},
r_{2}=0{,}04\,\mathrm{m},
L=1\,\mathrm{m},
V=200\,\mathrm{V},
\ln(r_{2}/r_{1})=\ln2\approx0{,}6931, resulta
\epsilon=4\,\epsilon_{0}=3{,}5416\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}, \quad U\approx\frac{3{,}5416\times10^{-11}\times\pi\times1\times(200)^{2}}{0{,}6931} \approx6{,}42\times10^{-6}\,\mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{200}{r\,\ln(2)}\,\hat{e}_{r}\quad(r_{1}<r<r_{2}),\qquad U\approx6{,}4\times10^{-6}\,\mathrm{J}.

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