Uma carga puntiforme igual a
é posicionada no centro de um cubo de arestas iguais
. Pede-se: (a) o fluxo elétrico total através do cubo; (b) o campo elétrico em um dos vértices do cubo; (c) o campo elétrico no centro de uma as arestas do cubo. Re: (a)
; (b)
; (c)
.
Passo 1
O enunciado fornece uma carga puntiforme colocada no centro de um cubo de aresta
e pede três coisas:
(a) o fluxo elétrico total através do cubo;
(b) o campo elétrico em um dos vértices do cubo;
(c) o campo elétrico no centro de uma das arestas do cubo.
(a) o fluxo elétrico total através do cubo;
(b) o campo elétrico em um dos vértices do cubo;
(c) o campo elétrico no centro de uma das arestas do cubo.
Informações numéricas relevantes (convertidas para o SI):
Para que os resultados numéricos coincidam com os valores indicados pelo enunciado, interpretamos o símbolo
como o prefixo nano, ou seja
A aresta do cubo é
Também vamos usar as constantes físicas:
Passo 2
(a) Cálculo do fluxo elétrico total através do cubo — conceito e fórmula:
Explicação didática curta: o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve totalmente uma carga puntiforme é dado pela Lei de Gauss no seu enunciado integral clássico. Essa lei diz que o fluxo total só depende da carga total dentro da superfície, não da forma da superfície. A fórmula é
Explicação didática curta: o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve totalmente uma carga puntiforme é dado pela Lei de Gauss no seu enunciado integral clássico. Essa lei diz que o fluxo total só depende da carga total dentro da superfície, não da forma da superfície. A fórmula é
onde
é o fluxo elétrico (unidade
ou
),
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Agora aplicamos aos valores dados:
Fazendo a conta com cuidado de potências de 10:
Arredondando para duas casas significativas:
Comentário prático: não precisamos conhecer a geometria do cubo para o fluxo total porque a carga está no interior — essa é a grande vantagem da Lei de Gauss.
Passo 3
(b) Cálculo do campo elétrico em um vértice — fórmula e geometria:
Explicação didática curta: o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, em módulo, a uma distância da carga, é dado pela Lei de Coulomb (forma de campo):
Explicação didática curta: o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, em módulo, a uma distância
Aqui precisamos da distância do centro do cubo até um vértice. Num cubo centrado na origem, um vértice tem coordenadas
. A distância do centro
a um vértice é a meia-diagonal espacial:
Agora plugamos
:
Calculemos
:
Agora aplicamos a fórmula do campo:
Observe que
(as potências de 10 cancelam). Então
Arredondando:
Interpretação: o valor é razoável porque o vértice está mais longe do que o centro da aresta, então o campo é menor do que em pontos mais próximos.
Passo 4
(c) Cálculo do campo elétrico no centro de uma aresta — geometria e cálculo:
Explicação didática curta: o centro de uma aresta, num cubo centrado na origem, tem coordenadas do tipo (uma coordenada zero e duas iguais a
). A distância ao centro é, portanto, a meia-diagonal de um quadrado (plano):
Explicação didática curta: o centro de uma aresta, num cubo centrado na origem, tem coordenadas do tipo
Com
:
Logo
Aplicando a fórmula do campo:
Novamente o numerador fica
. Assim
Arredondando:
Comentário físico: o centro da aresta está mais próximo do centro do cubo do que o vértice; por isso o campo ali é maior — isso confirma a intuição de que
aumenta quando diminuímos a distância à carga.
Passo 5
Verificação rápida e incentivo:
- O fluxo não depende da forma do cubo — só da carga — e o valor numérico bate com
. - Os campos calculados seguem a escala correta com a distância (
): como obtemos , o que confere com os valores numéricos.
Força extra: guarde as fórmulas básicas que usamos — elas resolvem muitos problemas rápidos em provas: