Uma carga puntiforme igual a 15[\eta \mathrm{C}] é posicionada no centro de um cubo de arestas iguais 10[\mathrm{~cm}]. Pede-se: (a) o fluxo elétrico total através do cubo; (b) o campo elétrico em um dos vértices do cubo; (c) o campo elétrico no centro de uma as arestas do cubo. Re: (a) \Phi=1,7[k V . m]; (b) E= 18[\mathrm{kV} / \mathrm{m}]; (c) E=27[\mathrm{kV} / \mathrm{m}].

Passo 1

O enunciado fornece uma carga puntiforme colocada no centro de um cubo de aresta 10[\mathrm{cm}] e pede três coisas:
(a) o fluxo elétrico total através do cubo;
(b) o campo elétrico em um dos vértices do cubo;
(c) o campo elétrico no centro de uma das arestas do cubo.
Informações numéricas relevantes (convertidas para o SI):
q = 15\\ [\eta\mathrm{C}].
Para que os resultados numéricos coincidam com os valores indicados pelo enunciado, interpretamos o símbolo \eta como o prefixo nano, ou seja
q = 15\times 10^{-9}\\ \mathrm{C} = 15\\ \mathrm{nC}.
A aresta do cubo é
a = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Também vamos usar as constantes físicas:
\varepsilon_0 = 8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=8{,}988\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.

Passo 2

(a) Cálculo do fluxo elétrico total através do cubo — conceito e fórmula:
Explicação didática curta: o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve totalmente uma carga puntiforme é dado pela Lei de Gauss no seu enunciado integral clássico. Essa lei diz que o fluxo total só depende da carga total dentro da superfície, não da forma da superfície. A fórmula é
\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0},
onde \Phi é o fluxo elétrico (unidade \mathrm{V\cdot m} ou \mathrm{N\cdot m^2/C}), q é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Agora aplicamos aos valores dados:
\Phi=\frac{15\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}}.
Fazendo a conta com cuidado de potências de 10:
\frac{15\times 10^{-9}}{8{,}854\times 10^{-12}} =\frac{15}{8{,}854}\times 10^{3} \approx 1{,}693\times 10^{3}\\ \mathrm{V\cdot m}.
Arredondando para duas casas significativas:
\Phi\approx 1{,}69\times 10^{3}\\ \mathrm{V\cdot m}=1{,}69\\ \mathrm{kV\cdot m}.
Comentário prático: não precisamos conhecer a geometria do cubo para o fluxo total porque a carga está no interior — essa é a grande vantagem da Lei de Gauss.

Passo 3

(b) Cálculo do campo elétrico em um vértice — fórmula e geometria:
Explicação didática curta: o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, em módulo, a uma distância r da carga, é dado pela Lei de Coulomb (forma de campo):
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^{2}}=k\frac{q}{r^{2}}.
Aqui precisamos da distância do centro do cubo até um vértice. Num cubo centrado na origem, um vértice tem coordenadas \left(\pm \tfrac{a}{2},\pm \tfrac{a}{2},\pm \tfrac{a}{2}\right). A distância do centro (0,0,0) a um vértice é a meia-diagonal espacial:
r_{\text{vértice}}=\frac{a}{2}\sqrt{3}.é
Agora plugamos a=0{,}10\\ \mathrm{m}:
r_{\text{vértice}}=\frac{0{,}10}{2}\sqrt{3}=0{,}05\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}05\times 1{,}732=0{,}0866\\ \mathrm{m}.é
Calculemos r^{2}:
r_{\text{vértice}}^{2}\approx (0{,}0866)^{2}\approx 0{,}00750\\ \mathrm{m^{2}}.é
Agora aplicamos a fórmula do campo:
E_{\text{vértice}}=k\frac{q}{r_{\text{vértice}}^{2}} =8{,}988\times 10^{9}\cdot\frac{15\times 10^{-9}}{0{,}00750}.éé
Observe que 8{,}988\times 10^{9}\cdot 15\times 10^{-9}=8{,}988\cdot 15=134{,}82 (as potências de 10 cancelam). Então
E_{\text{vértice}}=\frac{134{,}82}{0{,}00750}\\ \mathrm{V/m}\approx 17\,976\\ \mathrm{V/m}.é
Arredondando:
E_{\text{vértice}}\approx 1{,}80\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}\approx 18\\ \mathrm{kV/m}.é
Interpretação: o valor é razoável porque o vértice está mais longe do que o centro da aresta, então o campo é menor do que em pontos mais próximos.

Passo 4

(c) Cálculo do campo elétrico no centro de uma aresta — geometria e cálculo:
Explicação didática curta: o centro de uma aresta, num cubo centrado na origem, tem coordenadas do tipo \left(\pm \tfrac{a}{2},\pm \tfrac{a}{2},0\right) (uma coordenada zero e duas iguais a \pm a/2). A distância ao centro é, portanto, a meia-diagonal de um quadrado (plano):
r_{\text{aresta}}=\frac{a}{2}\sqrt{2}.
Com a=0{,}10\\ \mathrm{m}:
r_{\text{aresta}}=0{,}05\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}05\times 1{,}4142=0{,}07071\\ \mathrm{m}.
Logo
r_{\text{aresta}}^{2}\approx (0{,}07071)^{2}=0{,}00500\\ \mathrm{m^{2}}.
Aplicando a fórmula do campo:
E_{\text{aresta}}=k\frac{q}{r_{\text{aresta}}^{2}} =8{,}988\times 10^{9}\cdot\frac{15\times 10^{-9}}{0{,}00500}.
Novamente o numerador fica 8{,}988\times 10^{9}\cdot 15\times 10^{-9}=134{,}82. Assim
E_{\text{aresta}}=\frac{134{,}82}{0{,}00500}\\ \mathrm{V/m}\approx 26\,964\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando:
E_{\text{aresta}}\approx 2{,}70\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}\approx 27\\ \mathrm{kV/m}.
Comentário físico: o centro da aresta está mais próximo do centro do cubo do que o vértice; por isso o campo ali é maior — isso confirma a intuição de que E aumenta quando diminuímos a distância à carga.

Passo 5

Verificação rápida e incentivo:
  • O fluxo não depende da forma do cubo — só da carga — e o valor numérico bate com \Phi=q/\varepsilon_0.
  • Os campos calculados seguem a escala correta com a distância ( E\propto 1/r^{2}): como r_{\text{aresta}}<r_{\text{vértice}}é obtemos E_{\text{aresta}}>E_{\text{vértice}}é, o que confere com os valores numéricos.
    Força extra: guarde as fórmulas básicas que usamos — elas resolvem muitos problemas rápidos em provas:
\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0},\qquad E=k\frac{q}{r^{2}},\qquad r_{\text{vértice}}=\frac{a}{2}\sqrt{3},\qquad r_{\text{aresta}}=\frac{a}{2}\sqrt{2}.é

Resposta

\Phi\approx 1{,}69\times 10^{3}\\ \mathrm{V\cdot m}
E_{\text{vértice}}\approx 1{,}80\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}é
E_{\text{aresta}}\approx 2{,}70\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}

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