Duas superfícies condutoras esféricas e concêntricas têm raios de 5,0[\mathrm{~cm}] e 7,0[\mathrm{~cm}]. A superfície menor tem uma carga total de 3,0[\eta C] e a carga total na superfície maior é de -2[\eta C]. Calcule a diferença de potencial entre as duas superfícies. Re: V=-797,14[V].

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre duas superfícies condutoras esféricas concêntricas. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
\begin{aligned} &\text{raio da superfície menor: } a = 5{,}0\\ [\mathrm{cm}] = 0{,}05\\ [\mathrm{m}],\\\ &\text{raio da superfície maior: } b = 7{,}0\\ [\mathrm{cm}] = 0{,}07\\ [\mathrm{m}],\\\ &\text{carga total na superfície menor: } Q_1 = 3{,}0\\ [\mu\mathrm{C}] = 3{,}0\times 10^{-6}\\ [\mathrm{C}],\\\ &\text{carga total na superfície maior: } Q_2 = -2{,}0\\ [\mu\mathrm{C}] = -2{,}0\times 10^{-6}\\ [\mathrm{C}]. \end{aligned}íííí
A pergunta é: calcular a diferença de potencial entre as duas superfícies (isto é, V_{\text{menor}}-V_{\text{maior}} — vou explicitar isso adiante). O enunciado também trouxe uma resposta proposta V=-797{,}14\\ [\mathrm{V}]; vou calcular e comparar com isso.

Passo 2

Entendendo o comportamento das cargas e o que ocorre fisicamente (aula rápida e necessária):
  • Em equilíbrio eletrostático, um condutor tem campo elétrico nulo no seu interior. Por isso, se há uma carga Q_1 na esfera interna, a casca condutora externa terá carga induzida na sua face interna que anula o campo no metal da casca. Assim, a face interna da casca (a superfície voltada para o interior) recebe carga -Q_1.
  • Como a casca externa tem carga total Q_2, a carga restante vai para a face externa da casca. Logo a carga na face externa da casca é Q_{\text{externa}} = Q_2 - (-Q_1) = Q_2 + Q_1.
    Aplicando isso aos valores:
\begin{aligned} &\text{carga induzida na face interna da casca} = -Q_1 = -3{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},\\\ &\text{carga na face externa da casca} = Q_2 + Q_1 = -2{,}0\times 10^{-6} + 3{,}0\times 10^{-6} = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}. \end{aligned}
Obs.: essa análise garante que o campo dentro do metal da casca é zero.

Passo 3

Fórmulas úteis e por que podemos usá-las (aula de teoria aplicada):
  • O potencial elétrico criado por uma esfera carregada, medido em um ponto a distância r do centro, é dado por:
    • se r está fora da esfera ( r\ge R), o potencial é igual ao de uma carga puntiforme no centro: \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}.
    • se r está dentro de uma casca esférica condutora de raio R ( r\le R), o potencial devido àquela casca é constante e igual a \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}.
  • Aqui \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (aproximadamente \displaystyle k=8{,}988\times 10^{9}\\ [\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}]).
  • Como as esferas são concêntricas, o potencial sobre a superfície menor (raio a) é soma das contribuições de Q_1 e da casca externa inteira Q_2. Similarmente para a superfície externa (raio b). Escrevemos:
\begin{aligned} V(a)&=k\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{b}\right),\\\ V(b)&=k\left(\frac{Q_1}{b}+\frac{Q_2}{b}\right)=k\frac{Q_1+Q_2}{b}. \end{aligned}
  • Subtraindo, a diferença de potencial fica muito simples (observe o cancelamento das contribuições da carga total da casca):
\begin{aligned} V(a)-V(b) &= k\Big(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{b}\Big) - k\frac{Q_1+Q_2}{b}\\\ &= k\left(\frac{Q_1}{a} - \frac{Q_1}{b}\right)\\\ &= k\,Q_1\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right). \end{aligned}
Explicação intuitiva: a parte da potencial que depende da carga total do conjunto aparece igual em ambas superfícies e se cancela; a diferença depende só da carga da esfera interna e das distâncias.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro convertemos tudo para SI (já listados no Passo 1). Relembrando os valores úteis:
\begin{aligned} &k=8{,}988\times 10^{9}\\ [\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}],\\\ &Q_1=3{,}0\times 10^{-6}\\ [\mathrm{C}],\quad a=0{,}05\\ [\mathrm{m}],\quad b=0{,}07\\ [\mathrm{m}]. \end{aligned}
Usando a fórmula achada:
V(a)-V(b)=k\,Q_1\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).

Passo 5

Cálculo detalhado das operações (faça assim na prova sem calculadora: transforme frações e simplifique quando possível).
\begin{aligned} \frac{1}{a}-\frac{1}{b} &= \frac{1}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}07}=20-\frac{100}{7}=20-14{,}285714\ldots=5{,}714285714\ldots \\\ Q_1\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) &= 3{,}0\times 10^{-6}\times 5{,}714285714\ldots = 1{,}714285714\ldots\times 10^{-5}\\\ &= \frac{12}{7}\times 3{,}0\times 10^{-6} = \frac{36}{7}\times 10^{-6}=1{,}714285714\times 10^{-5}\\ [\mathrm{C/m}]. \end{aligned}
Agora multiplico por k:
\begin{aligned} V(a)-V(b) &= 8{,}988\times 10^{9}\times 1{,}714285714\times 10^{-5}\\\ &= \big(8{,}988\times \tfrac{12}{7}\big)\times 10^{4}\\\ &=15{,}408\times 10^{4}\\ [\mathrm{V}]\\\ &=1{,}5408\times 10^{5}\\ [\mathrm{V}]. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
V(a)-V(b)\approx 1{,}54\times 10^{5}\\ [\mathrm{V}].

Passo 6

Interpretação e comparação com o valor que você apresentou:
  • O resultado que obtivemos é positivo e grande: a superfície menor está a potencial maior que a superfície maior, com diferença \approx 1{,}54\times 10^{5}\\ \mathrm{V}.
  • O valor que você colocou, V=-797{,}14\\ \mathrm{V}, não coincide com este cálculo. Pelo desenvolvimento acima, a diferença de potencial não é desse sinal nem dessa ordem de grandeza para as cargas e raios dados em \mu\mathrm{C} e centímetros. Provavelmente esse número decorre de um erro de unidade (por exemplo usar cargas em nC parcialmente) ou de ter escolhido a ordem invertida sem aplicar corretamente as contribuições; mas com os dados que estão no enunciado (cargas em \mu\mathrm{C}) a resposta correta é a que calculei.

Resposta

\displaystyle V_{\text{menor}}-V_{\text{maior}}=1{,}5408\times 10^{5}\\ \mathrm{V}

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