Duas superfícies condutoras esféricas e concêntricas têm raios de
e
. A superfície menor tem uma carga total de
e a carga total na superfície maior é de
. Calcule a diferença de potencial entre as duas superfícies. Re:
.
Passo 1
O enunciado pede a diferença de potencial entre duas superfícies condutoras esféricas concêntricas. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
A pergunta é: calcular a diferença de potencial entre as duas superfícies (isto é,
— vou explicitar isso adiante). O enunciado também trouxe uma resposta proposta
; vou calcular e comparar com isso.
Passo 2
Entendendo o comportamento das cargas e o que ocorre fisicamente (aula rápida e necessária):
- Em equilíbrio eletrostático, um condutor tem campo elétrico nulo no seu interior. Por isso, se há uma carga
na esfera interna, a casca condutora externa terá carga induzida na sua face interna que anula o campo no metal da casca. Assim, a face interna da casca (a superfície voltada para o interior) recebe carga . - Como a casca externa tem carga total
, a carga restante vai para a face externa da casca. Logo a carga na face externa da casca é .
Aplicando isso aos valores:
Obs.: essa análise garante que o campo dentro do metal da casca é zero.
Passo 3
Fórmulas úteis e por que podemos usá-las (aula de teoria aplicada):
- O potencial elétrico criado por uma esfera carregada, medido em um ponto a distância
do centro, é dado por: - se
está fora da esfera ( ), o potencial é igual ao de uma carga puntiforme no centro: . - se
está dentro de uma casca esférica condutora de raio ( ), o potencial devido àquela casca é constante e igual a .
- se
- Aqui
é a constante eletrostática (aproximadamente ). - Como as esferas são concêntricas, o potencial sobre a superfície menor (raio
) é soma das contribuições de e da casca externa inteira . Similarmente para a superfície externa (raio ). Escrevemos:
- Subtraindo, a diferença de potencial fica muito simples (observe o cancelamento das contribuições da carga total da casca):
Explicação intuitiva: a parte da potencial que depende da carga total do conjunto aparece igual em ambas superfícies e se cancela; a diferença depende só da carga da esfera interna e das distâncias.
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro convertemos tudo para SI (já listados no Passo 1). Relembrando os valores úteis:
Usando a fórmula achada:
Passo 5
Cálculo detalhado das operações (faça assim na prova sem calculadora: transforme frações e simplifique quando possível).
Agora multiplico por
:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
Passo 6
Interpretação e comparação com o valor que você apresentou:
- O resultado que obtivemos é positivo e grande: a superfície menor está a potencial maior que a superfície maior, com diferença
. - O valor que você colocou,
, não coincide com este cálculo. Pelo desenvolvimento acima, a diferença de potencial não é desse sinal nem dessa ordem de grandeza para as cargas e raios dados em e centímetros. Provavelmente esse número decorre de um erro de unidade (por exemplo usar cargas em nC parcialmente) ou de ter escolhido a ordem invertida sem aplicar corretamente as contribuições; mas com os dados que estão no enunciado (cargas em ) a resposta correta é a que calculei.