Um condutor retilíneo de comprimento igual a
está carregado com densidade linear de cargas igual a
. (a) calcule o campo elétrico a uma distância de
do condutor, paralelamente a ele; (b) repita o item anterior para uma distância de
e compare os resultados; (c) calcule a força sobre uma carga de
colocada a
do condutor. Despreze o efeito das pontas. Re: (a)
; (b)
; (c)
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular o campo elétrico a uma distância de do condutor, desprezando o efeito das pontas.
(b) Repetir o item (a) para uma distância de e comparar os resultados.
(c) Calcular a força sobre uma carga de colocada a
do condutor (novamente desprezando pontas).
(a) Calcular o campo elétrico a uma distância de
(b) Repetir o item (a) para uma distância de
(c) Calcular a força sobre uma carga de
Dados fornecidos:
Observação importante extraída do enunciado: o enunciado pede explicitamente para desprezar o efeito das pontas, ou seja, devemos usar a aproximação da linha carregada como se fosse muito longa (modelo de linha infinita) para calcular o campo elétrico.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem cálculos ainda).
Como o enunciado pede que se despreze o efeito das pontas, a maneira mais simples, natural e correta nesse contexto é usar a lei de Gauss aplicada a uma linha infinitamente longa de carga uniforme. Isso nos dá uma fórmula direta para o módulo do campo elétrico em função da densidade linear e da distância radial
à linha.
Razão: para uma linha muito longa e com simetria cilíndrica, a lei de Gauss permite obter facilmente sem integrar; é o método padrão e o mais prático para usar na prova quando nos pedem desprezar pontas.
Como o enunciado pede que se despreze o efeito das pontas, a maneira mais simples, natural e correta nesse contexto é usar a lei de Gauss aplicada a uma linha infinitamente longa de carga uniforme. Isso nos dá uma fórmula direta para o módulo do campo elétrico em função da densidade linear
Razão: para uma linha muito longa e com simetria cilíndrica, a lei de Gauss permite obter
Passo 3
Aula rápida sobre a lei de Gauss e dedução da fórmula que iremos usar.
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dividida por :
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dividida por
Para uma linha reta infinita com densidade linear de carga
escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, de raio
e comprimento
. Por simetria:
- O campo
tem direção radial e módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro. - As faces circulares do cilindro têm
praticamente perpendicular ao fluxo (o campo entra/sai paralelo ao eixo), então o fluxo por essas faces é zero.
O fluxo pela superfície lateral é:
A carga encerrada é:
Aplicando Gauss:
Explicação das variáveis:
é a densidade linear de carga (C/m),
é a permissividade do vácuo (
),
é a distância perpendicular da linha até o ponto onde queremos o campo (m), e
é o módulo do campo elétrico (N/C).
Passo 4
Valores numéricos e conversões de unidades.
Precisamos interpretar dado no enunciado. Para obter os resultados compatíveis com as alternativas fornecidas, usamos
(nanocoulomb). Assim:
Precisamos interpretar
A constante
adotada é
Conversões de distância:
Carga de teste:
Passo 5
Cálculo do campo elétrico usando a fórmula
Primeiro calculemos o denominador genérico
para cada caso e depois o
.
(a) Para
:
Calculemos numericamente:
Agora
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 6
(b) Para
:
Numéricamente:
Então
Arredondando:
Comparação qualitativa entre (a) e (b): o campo decai como
. Assim, aumentar a distância de
para
(um fator
) diminui o campo por aproximadamente o mesmo fator; numericamente vemos que o campo em
é da ordem de
, enquanto em
é da ordem de
.
Passo 7
(c) Cálculo da força sobre a carga
colocada a
. Primeiro o campo em
:
Arredondando:
ou
. Para manter consistência com as cifras anteriores usaremos
.
A força elétrica sobre uma carga
é dada por:
no módulo:
Com
e
:
Arredondando com 2 algarismos significativos coerentes com os dados:
Passo 8
Breve verificação de consistência e incentivo final.
Os resultados numéricos obtidos batem com as respostas indicadas no enunciado de verificação (considerando que ). Lembre-se: a aproximação por linha infinita foi possível porque o enunciado pediu para desprezar as pontas. Em provas, sempre verifique se pode usar simetria/lei de Gauss — quando sim, ela simplifica muito a vida. Você foi bem em chegar até aqui — continue praticando esse tipo de exercício, faça variações (trocar
, distâncias) e repita os passos da lei de Gauss para fixar.
Os resultados numéricos obtidos batem com as respostas indicadas no enunciado de verificação (considerando que
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)