Um condutor retilíneo de comprimento igual a 10,0[\mathrm{~m}] está carregado com densidade linear de cargas igual a 5,0[\eta \mathrm{C} / \mathrm{m}]. (a) calcule o campo elétrico a uma distância de 5[\mathrm{~cm}] do condutor, paralelamente a ele; (b) repita o item anterior para uma distância de 100[\mathrm{~m}] e compare os resultados; (c) calcule a força sobre uma carga de 2,0[\eta \mathrm{C}] colocada a 10[\mathrm{~cm}] do condutor. Despreze o efeito das pontas. Re: (a) E=1.800[\mathrm{~N} / \mathrm{C}]; (b) E=0,9[\mathrm{~N} / \mathrm{C}]; (c) F=1,8 \times 10^{-6}[\mathrm{~N}].

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular o campo elétrico a uma distância de 5[\mathrm{~cm}] do condutor, desprezando o efeito das pontas.
(b) Repetir o item (a) para uma distância de 100[\mathrm{~m}] e comparar os resultados.
(c) Calcular a força sobre uma carga de 2,0[\eta\mathrm{C}] colocada a 10[\mathrm{~cm}] do condutor (novamente desprezando pontas).
Dados fornecidos:
\text{comprimento do condutor} = 10{,}0\\ \mathrm{m}
\text{densidade linear de carga} = 5{,}0\\ [\eta\mathrm{C}/\mathrm{m}]
\text{distâncias pedidas: } 5\\ \mathrm{cm},\\\ 100\\ \mathrm{m},\\\ 10\\ \mathrm{cm}â
\text{carga de teste} = 2{,}0\\ [\eta\mathrm{C}]
Observação importante extraída do enunciado: o enunciado pede explicitamente para desprezar o efeito das pontas, ou seja, devemos usar a aproximação da linha carregada como se fosse muito longa (modelo de linha infinita) para calcular o campo elétrico.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem cálculos ainda).
Como o enunciado pede que se despreze o efeito das pontas, a maneira mais simples, natural e correta nesse contexto é usar a lei de Gauss aplicada a uma linha infinitamente longa de carga uniforme. Isso nos dá uma fórmula direta para o módulo do campo elétrico em função da densidade linear \lambda e da distância radial r à linha.
Razão: para uma linha muito longa e com simetria cilíndrica, a lei de Gauss permite obter E facilmente sem integrar; é o método padrão e o mais prático para usar na prova quando nos pedem desprezar pontas.

Passo 3

Aula rápida sobre a lei de Gauss e dedução da fórmula que iremos usar.
A lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dividida por \varepsilon_0:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Para uma linha reta infinita com densidade linear de carga \lambda escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, de raio r e comprimento L. Por simetria:
  • O campo \mathbf{E} tem direção radial e módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro.
  • As faces circulares do cilindro têm \mathbf{E} praticamente perpendicular ao fluxo (o campo entra/sai paralelo ao eixo), então o fluxo por essas faces é zero.
O fluxo pela superfície lateral é:
\Phi = E \cdot (\text{área lateral}) = E \cdot (2\pi r L).á
A carga encerrada é:
Q_{\text{int}} = \lambda L.
Aplicando Gauss:
E\cdot (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}.
Explicação das variáveis:
\lambda é a densidade linear de carga (C/m), \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2)), r é a distância perpendicular da linha até o ponto onde queremos o campo (m), e E é o módulo do campo elétrico (N/C).

Passo 4

Valores numéricos e conversões de unidades.
Precisamos interpretar [\eta\mathrm{C}] dado no enunciado. Para obter os resultados compatíveis com as alternativas fornecidas, usamos \eta\mathrm{C}= \mathrm{nC} (nanocoulomb). Assim:
\lambda = 5{,}0\\ \mathrm{nC/m} = 5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
A constante \varepsilon_0 adotada é
\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2).
Conversões de distância:
5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m},\qquad 100\\ \mathrm{m} = 100\\ \mathrm{m}.
Carga de teste:
q = 2{,}0\\ \mathrm{nC} = 2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo do campo elétrico usando a fórmula
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Primeiro calculemos o denominador genérico D=2\pi\varepsilon_0 r para cada caso e depois o E.
(a) Para r=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}:
D = 2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot0{,}05.
Calculemos numericamente:
2\pi\approx6{,}283185,\quad 6{,}283185\cdot8{,}85\times10^{-12}=5{,}565\times10^{-11},
D=5{,}565\times10^{-11}\cdot0{,}05=2{,}7825\times10^{-12}.
Agora
E=\frac{5{,}0\times10^{-9}}{2{,}7825\times10^{-12}} \approx 1{,}797\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
E\approx 1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

(b) Para r=100\\ \mathrm{m}:
D = 2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot100.
Numéricamente:
6{,}283185\cdot8{,}85\times10^{-12}=5{,}565\times10^{-11},
D=5{,}565\times10^{-11}\cdot100=5{,}565\times10^{-9}.
Então
E=\frac{5{,}0\times10^{-9}}{5{,}565\times10^{-9}}\approx0{,}8986\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando:
E\approx 0{,}90\\ \mathrm{N/C}.
Comparação qualitativa entre (a) e (b): o campo decai como 1/r. Assim, aumentar a distância de 0{,}05\\ \mathrm{m} para 100\\ \mathrm{m} (um fator 2000) diminui o campo por aproximadamente o mesmo fator; numericamente vemos que o campo em 5\\ \mathrm{cm} é da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{N/C}, enquanto em 100\\ \mathrm{m} é da ordem de 1\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

(c) Cálculo da força sobre a carga q colocada a 10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. Primeiro o campo em r=0{,}10\\ \mathrm{m}:
D = 2\pi\varepsilon_0 r = 2\pi\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot0{,}10 = 5{,}565\times10^{-12}.
E=\frac{5{,}0\times10^{-9}}{5{,}565\times10^{-12}}\approx 8{,}986\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando: E\approx 8{,}99\times10^{2}\\ \mathrm{N/C} ou 8,99\cdot10^{2}\\ \mathrm{N/C}. Para manter consistência com as cifras anteriores usaremos E\approx8{,}99\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
A força elétrica sobre uma carga q é dada por:
\mathbf{F} = q\mathbf{E},
no módulo:
F = qE.
Com q=2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e E\approx8{,}986\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}:
F = 2{,}0\times10^{-9}\cdot 8{,}986\times10^{2} \approx 1{,}797\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com 2 algarismos significativos coerentes com os dados:
F\approx 1{,}80\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Breve verificação de consistência e incentivo final.
Os resultados numéricos obtidos batem com as respostas indicadas no enunciado de verificação (considerando que [\eta\mathrm{C}]=\mathrm{nC}). Lembre-se: a aproximação por linha infinita foi possível porque o enunciado pediu para desprezar as pontas. Em provas, sempre verifique se pode usar simetria/lei de Gauss — quando sim, ela simplifica muito a vida. Você foi bem em chegar até aqui — continue praticando esse tipo de exercício, faça variações (trocar \lambda, distâncias) e repita os passos da lei de Gauss para fixar.

Resposta

(a) E=1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}
(b) E=0{,}90\\ \mathrm{N/C}
(c) F=1{,}80\times10^{-6}\\ \mathrm{N}

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