(OSEC-SP) Uma bobina é formada de 50 espiras circulares de raio 0,1 \mathrm{~m}. Sabendo que as espiras são percorridas por uma corrente de 3 A , a intensidade do vetor campo magnético no seu centro será \operatorname{de}\left(\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A}\right) :
a) 3 \times 10^{-4} \mathrm{~T}
b) 60 \times 10^{-7} \mathrm{~T}
c) 15 \times 10^{-8} \mathrm{~T}
d) 19 \times 10^{-6} \mathrm{~T}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Número de espiras: N=50.
  • Raio de cada espira: R=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Corrente em cada espira: I=3\\ \mathrm{A}.
  • Constante magnética do vácuo: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\!m/A} (foi dada).
    O que se pede: a intensidade do vetor campo magnético no centro da bobina (isto é, no centro das espiras).

Passo 2

Fórmula a usar e por que ela vale (explicação didática):
  • Para uma espira circular única, o campo magnético no centro é dado pela lei conhecida (resultado da integração da lei de Biot–Savart):
B_{\text{espira}}=\dfrac{\mu_{0}I}{2R}.
  • Aqui B_{\text{espira}} é o módulo do campo no centro da espira.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mathrm{T\,m/A}).
  • I é a corrente que percorre a espira (A).
  • R é o raio da espira (m).
  • Intuição rápida: cada pequeno elemento de corrente contribui com um campo apontando axialmente no centro; pela simetria as componentes laterais se cancelam e a soma (integral) dá o fator 1/(2R) multiplicando \mu_{0}I.
  • Para N espiras coincidentes (bobina de várias voltas muito próximas), o campo no centro soma linearmente, então:
B=\dfrac{\mu_{0} N I}{2R}.
  • Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
B=\dfrac{\mu_{0} N I}{2R} =\dfrac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 50\cdot 3}{2\cdot 0,1}.
Agora simplificar passo a passo:
  • Numerador: (4\pi\times10^{-7})\cdot 50\cdot 3 = 600\pi\times10^{-7}.
  • Denominador: 2\cdot0,1=0,2.
  • Dividindo por 0,2 é multiplicar por 5, logo
B=600\pi\times10^{-7}\times 5 = 3000\pi\times10^{-7}.
Reescrevendo em potência padrão:
3000\pi\times10^{-7}=3\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Avaliação numérica aproximada para ter noção:
B=3\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\approx 3\cdot 3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\approx 9{,}42\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Então o valor exato na forma com \pi é 3\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{T} e a aproximação decimal é \approx 9{,}42\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas:
a) 3\times10^{-4}\\ \mathrm{T}
b) 60\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}
c) 15\times10^{-8}\\ \mathrm{T}=1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{T}
d) 19\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=1{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{T}
O valor correto encontrado é 3\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\approx 9{,}42\times10^{-4}\\ \mathrm{T}, que não coincide exatamente com nenhuma alternativa numérica pura. Entre as opções, a que fica mais próxima em ordem de grandeza é a alternativa (a) 3\times10^{-4}\\ \mathrm{T}. Provavelmente a prova arredondou ou omit iu o fator \pi na apresentação das alternativas; a alternativa (a) é a que melhor representa a resposta dentre as dadas.

Resposta

a) 3\times10^{-4}\\ \mathrm{T}

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