Uma carga puntiforme de
e uma carga puntiforme de
estão separadas por uma distância L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosse igual a zero?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais:
- Primeira carga:
- Segunda carga:
Essas duas cargas estão separadas por uma distância $ L $. A pergunta é: onde devemos colocar uma terceira carga pontual para que a força elétrica nessa terceira carga seja igual a zero?
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força elétrica entre cargas e a Lei de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica ($ F $) entre duas cargas é dada por:
Onde:
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N \cdot m²/C² $)
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas
- $ r $ é a distância entre as cargas
Passo 3
Queremos que a força resultante na terceira carga seja zero. Isso significa que a força exercida pela primeira carga na terceira deve ser igual e oposta à força exercida pela segunda carga na terceira.
Vamos chamar a terceira carga de $ q $ e supor que ela está localizada a uma distância $ x $ da carga de
e, portanto, a distância $ L - x $ da carga de
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Coulomb para as duas forças:
Como queremos que $ F_1 = F_2 $, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Podemos simplificar a equação cancelando $ k $ e $ |q| $ dos dois lados:
Agora, simplificando os coeficientes:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 (L - x)^2 $ para eliminar os denominadores:
Expandindo $ (L - x)^2 $:
Distribuindo o 2:
Passo 7
Levantando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 8
Vamos reorganizar a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver para $ x $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 1 $
- $ b = 2L $
- $ c = -L^2 $
Passo 9
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Obtemos duas soluções:
- $ x = -L + \sqrt{2}L = (\sqrt{2} - 1)L $
- $ x = -L - \sqrt{2}L = -(\sqrt{2} + 1)L $
Como a distância não pode ser negativa, descartamos a segunda solução. Portanto, a posição onde a terceira carga deve ser colocada é a uma distância de $ (\sqrt{2} - 1)L $ da carga de
.
Resposta
A terceira carga deve ser colocada a uma distância de $ (\sqrt{2} - 1)L $ da carga de
para que a força elétrica sobre ela seja igual a zero.