Uma carga puntiforme de -2 mu C e uma carga puntiforme de -4 mu C estão separadas por uma distância L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosse igual a zero?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais:
  • Primeira carga: -2 mu C
  • Segunda carga: -4 mu C
Essas duas cargas estão separadas por uma distância $ L $. A pergunta é: onde devemos colocar uma terceira carga pontual para que a força elétrica nessa terceira carga seja igual a zero?
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força elétrica entre cargas e a Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica ($ F $) entre duas cargas é dada por:
F
Onde:
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N \cdot m²/C² $)
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas
  • $ r $ é a distância entre as cargas

Passo 3

Queremos que a força resultante na terceira carga seja zero. Isso significa que a força exercida pela primeira carga na terceira deve ser igual e oposta à força exercida pela segunda carga na terceira.
Vamos chamar a terceira carga de $ q $ e supor que ela está localizada a uma distância $ x $ da carga de q e, portanto, a distância $ L - x $ da carga de x .

Passo 4

Aplicando a Lei de Coulomb para as duas forças:
F1 = k cdot |-2 mu C cdot q|x^2
F2 = k cdot |-4 mu C cdot q|(L - x)^2
Como queremos que $ F_1 = F_2 $, podemos igualar as duas expressões:
F1 = F2

Passo 5

Podemos simplificar a equação cancelando $ k $ e $ |q| $ dos dois lados:
k
Agora, simplificando os coeficientes:
|q|

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ x^2 (L - x)^2 $ para eliminar os denominadores:
x^2 (L - x)^2
Expandindo $ (L - x)^2 $:
2 (L - x)^2 = 4 x^2
Distribuindo o 2:
(L - x)^2

Passo 7

Levantando todos os termos para um lado da equação:
2L^2 - 4Lx + 2x^2 - 4x^2 = 0
Simplificando:
2L^2 - 4Lx - 2x^2 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
L^2 - 2Lx - x^2 = 0

Passo 8

Vamos reorganizar a equação:
x^2 + 2Lx - L^2 = 0
Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver para $ x $ usando a fórmula de Bhaskara:
ax^2 + bx + c = 0
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 2L $
  • $ c = -L^2 $

Passo 9

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
De

Passo 10

Obtemos duas soluções:
  1. $ x = -L + \sqrt{2}L = (\sqrt{2} - 1)L $
  2. $ x = -L - \sqrt{2}L = -(\sqrt{2} + 1)L $
Como a distância não pode ser negativa, descartamos a segunda solução. Portanto, a posição onde a terceira carga deve ser colocada é a uma distância de $ (\sqrt{2} - 1)L $ da carga de x = -L + raiz2L = (raiz2 - 1)L .

Resposta

A terceira carga deve ser colocada a uma distância de $ (\sqrt{2} - 1)L $ da carga de (raiz2 - 1)L para que a força elétrica sobre ela seja igual a zero.

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