Uma carga puntiforme +q é colocada no centro de um casca esférica, condutora e eletricamente neutra, de raio interno a e raio externo b. Encontre expressões para o campo elétrico a uma distância r do centro da casca esférica, para r. R: b) q /(4 pi varepsilon0 r^2);

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga pontual $ +q $ no centro de uma casca esférica condutora e eletricamente neutra, com raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Nosso objetivo é encontrar a expressão para o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro da casca esférica, onde $ r < a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e as propriedades de condutores eletrostáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. Ela é dada por:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
onde $ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa superfície, e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma situação de simetria esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ r $ (onde $ r < a $) centrada no mesmo ponto da carga $ +q $. Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. No entanto, estamos analisando uma região dentro do vácuo (entre o centro e o interior da casca), onde a presença da carga $ +q $ influencia o campo.

Passo 4

Dentro da superfície gaussiana (onde $ r < a $), a única carga que está realmente “dentro” dessa superfície é a carga pontual $ +q $ no centro. A casca condutora, por ser eletricamente neutra, terá cargas distribuídas de forma que o campo dentro do condutor seja zero, mas isso não afeta o campo na região $ r < a $.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície, temos:
oint E cdot dA = qvarepsilon0
Como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos tirar $ \mathbf{E} $ da integral:
E

Passo 6

Resolvendo para $ E $:
E

Resposta

O campo elétrico a uma distância $ r $ do centro da casca esférica, para $ r < a $, é:
r

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