Uma carga puntiforme
é colocada no centro de um casca esférica, condutora e eletricamente neutra, de raio interno
e raio externo
. Encontre expressões para o campo elétrico a uma distância
do centro da casca esférica, para
. R: b)
;
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga pontual $ +q $ no centro de uma casca esférica condutora e eletricamente neutra, com raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Nosso objetivo é encontrar a expressão para o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro da casca esférica, onde $ r < a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e as propriedades de condutores eletrostáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria. Ela é dada por:
onde $ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa superfície, e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos uma situação de simetria esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ r $ (onde $ r < a $) centrada no mesmo ponto da carga $ +q $. Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. No entanto, estamos analisando uma região dentro do vácuo (entre o centro e o interior da casca), onde a presença da carga $ +q $ influencia o campo.
Passo 4
Dentro da superfície gaussiana (onde $ r < a $), a única carga que está realmente “dentro” dessa superfície é a carga pontual $ +q $ no centro. A casca condutora, por ser eletricamente neutra, terá cargas distribuídas de forma que o campo dentro do condutor seja zero, mas isso não afeta o campo na região $ r < a $.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície, temos:
Como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos tirar $ \mathbf{E} $ da integral:
Passo 6
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico a uma distância $ r $ do centro da casca esférica, para $ r < a $, é: