Exercício 11: Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV . Qual é o comprimento de onda de Broglie desses elétrons? Se o potencial for duplicado, qual será o novo comprimento de onda?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o comprimento de onda de Broglie dos elétrons quando são acelerados por um potencial de
e (2) o novo comprimento de onda quando esse potencial é duplicado (ou seja,
).
Informações dadas e relevantes: . Não foram dadas outras informações, então usaremos as constantes físicas conhecidas para o elétron e a relação clássica entre energia elétrica e energia cinética.
Informações dadas e relevantes:
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho passo a passo).
- De Broglie propôs que uma partícula com momento linear
tem comprimento de onda
onde
é a constante de Planck. Isso significa que, para calcular
, precisamos do momento
do elétron.
- Um elétron acelerado por um potencial elétrico
ganha energia cinética igual a , onde é a carga elementar. Assim,
Aqui
é a energia cinética em joules,
em coulombs e
em volts.
- Em regime não-relativístico (válido quando
é bem menor que a energia de repouso ), o momento está relacionado à energia cinética por
Substituindo
em
e depois em
, obtemos a fórmula prática
Explicação das variáveis:
é a constante de Planck,
massa do elétron,
carga do elétron e
o potencial (volts). Esta fórmula é a que normalmente se usa em problemas de laboratório para elétrons com energias na faixa de alguns eV a algumas dezenas de keV (a correção relativística aparece quando
fica comparável a
, isto é, centenas de keV).
Passo 3
Valores numéricos das constantes que usaremos (escrevendo tudo em SI e explicando unidades):
- Constante de Planck:
- Massa do elétron:
- Carga elementar:
Observação sobre unidades: para usar a fórmulacom em joule·segundo e em kg, precisamos que esteja em joules; por isso multiplicamos (em volts) por (em coulombs) para obter energia em joules.
Passo 4
Cálculo detalhado para
. Primeiro convertendo a energia cinética para joules:
Agora calculamos o momento usando
:
Faço a conta interna (mostrando os passos numéricos aproximados):
Finalmente, o comprimento de onda:
Comentário prático: há uma fórmula de uso rápido que deriva exatamente disso:
. Aplicando essa fórmula com
dá
, que bate com o cálculo acima.
Passo 5
Efeito de duplicar o potencial: como na fórmula
a dependência de
é por
no denominador, ao duplicar
o comprimento de onda diminui por um fator
. Ou seja,
Aplicando com
:
Passo 6
Cheque rápido sobre relatividade (pra te deixar tranquilo): a energia de repouso do elétron é
. Como
é bem menor que
, a aproximação não-relativística que usamos tem erro pequeno (alguns por cento no pior caso). Para precisão muito alta seria preciso usar a expressão relativística para
, mas para uma prova de graduação essa abordagem não-relativística é a esperada e suficiente.