Exercício 11: Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV . Qual é o comprimento de onda de Broglie desses elétrons? Se o potencial for duplicado, qual será o novo comprimento de onda?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o comprimento de onda de Broglie dos elétrons quando são acelerados por um potencial de 20\\ \mathrm{kV} e (2) o novo comprimento de onda quando esse potencial é duplicado (ou seja, 40\\ \mathrm{kV}).
Informações dadas e relevantes: 20\\ \mathrm{kV}=20{,}000\\ \mathrm{V}. Não foram dadas outras informações, então usaremos as constantes físicas conhecidas para o elétron e a relação clássica entre energia elétrica e energia cinética.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • De Broglie propôs que uma partícula com momento linear p tem comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck. Isso significa que, para calcular \lambda, precisamos do momento p do elétron.
  • Um elétron acelerado por um potencial elétrico V ganha energia cinética igual a eV, onde e é a carga elementar. Assim,
K = eV.
Aqui K é a energia cinética em joules, e em coulombs e V em volts.
  • Em regime não-relativístico (válido quando K é bem menor que a energia de repouso m c^2), o momento está relacionado à energia cinética por
K=\frac{p^2}{2m}\quad\Longrightarrow\quad p=\sqrt{2mK}.
Substituindo K=eV em p e depois em \lambda, obtemos a fórmula prática
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m e V}}.
Explicação das variáveis: h é a constante de Planck, m massa do elétron, e carga do elétron e V o potencial (volts). Esta fórmula é a que normalmente se usa em problemas de laboratório para elétrons com energias na faixa de alguns eV a algumas dezenas de keV (a correção relativística aparece quando V fica comparável a m c^2/e, isto é, centenas de keV).

Passo 3

Valores numéricos das constantes que usaremos (escrevendo tudo em SI e explicando unidades):
  • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Massa do elétron: m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Carga elementar: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    Observação sobre unidades: para usar a fórmula \lambda=h/\sqrt{2 m e V} com h em joule·segundo e m em kg, precisamos que eV esteja em joules; por isso multiplicamos V (em volts) por e (em coulombs) para obter energia em joules.

Passo 4

Cálculo detalhado para V=20\\ \mathrm{kV}=20{,}000\\ \mathrm{V}. Primeiro convertendo a energia cinética para joules:
K=eV=(1{,}602176634\times10^{-19})\times(20{,}000)=3{,}204353268\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Agora calculamos o momento usando p=\sqrt{2mK}:
p=\sqrt{2\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(3{,}204353268\times10^{-15})}.
Faço a conta interna (mostrando os passos numéricos aproximados):
2mK \approx 1{,}821876712\times10^{-30}\times3{,}204353268\times10^{-15} \approx 5{,}83870\times10^{-45}
\Rightarrow p\approx\sqrt{5{,}83870\times10^{-45}}\approx7{,}6428\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Finalmente, o comprimento de onda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{7{,}6428\times10^{-23}} \approx8{,}67\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: há uma fórmula de uso rápido que deriva exatamente disso: \lambda\\ (\mathrm{nm})\approx\frac{1{,}226}{\sqrt{V\\ (\mathrm{V})}}. Aplicando essa fórmula com V=20{,}000 \lambda\approx1{,}226/\sqrt{20{,}000}=0{,}00867\\ \mathrm{nm}=8{,}67\times10^{-12}\\ \mathrm{m}, que bate com o cálculo acima.

Passo 5

Efeito de duplicar o potencial: como na fórmula \lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2 m e V}} a dependência de V é por \sqrt{V} no denominador, ao duplicar V o comprimento de onda diminui por um fator \sqrt{2}. Ou seja,
\lambda(V_2)=\frac{\lambda(V_1)}{\sqrt{2}}\quad\text{se}\quad V_2=2V_1.
Aplicando com \lambda(20\\ \mathrm{kV})=8{,}67\times10^{-12}\\ \mathrm{m}:
\lambda(40\\ \mathrm{kV})=\frac{8{,}67\times10^{-12}}{\sqrt{2}}\approx6{,}13\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido sobre relatividade (pra te deixar tranquilo): a energia de repouso do elétron é m c^2\approx511\\ \mathrm{keV}. Como 20\\ \mathrm{keV} é bem menor que 511\\ \mathrm{keV}, a aproximação não-relativística que usamos tem erro pequeno (alguns por cento no pior caso). Para precisão muito alta seria preciso usar a expressão relativística para p, mas para uma prova de graduação essa abordagem não-relativística é a esperada e suficiente.

Resposta

\lambda(20\\ \mathrm{kV})=8{,}67\times10^{-12}\\ \mathrm{m}
\lambda(40\\ \mathrm{kV})=6{,}13\times10^{-12}\\ \mathrm{m}

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