Uma carga puntiforme +q é colocada no centro de um casca esférica, condutora e eletricamente neutra, de raio interno a e raio externo b. a) Quais são as cargas que aparecem nas superfícies interna e externa da casca esférica? Encontre expressões para o campo elétrico a uma distância r do centro da casca esférica, para b) r<a, c) \mathrm{b}>\mathrm{r}>\mathrm{a} e d) \mathrm{r}>\mathrm{b}. R: a) -q e \left.\mathrm{q} ; \mathrm{b}) \mathrm{q} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{r}^{2}\right) ; \mathrm{c}\right) 0 ; d) \mathrm{q} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \mathrm{r}^{2}\right).

Passo 1

O enunciado coloca uma carga puntiforme +q no centro de uma casca esférica condutora, eletricamente neutra, com raio interno a e raio externo b. As perguntas são:
a) Quais são as cargas que aparecem nas superfícies interna e externa da casca esférica?
b) Qual é o campo elétrico para r<a?
c) Qual é o campo elétrico para a<r<b?
d) Qual é o campo elétrico para r>b?
Informações dadas e condições relevantes que temos à mão:
  • Há uma carga puntiforme +q localizada exatamente no centro da casca.
  • A casca é condutora e inicialmente eletricamente neutra (carga líquida zero).
  • A casca tem superfície interna de raio a e superfície externa de raio b.
  • Queremos o campo elétrico em três regiões concêntricas em torno do centro: r<a, a<r<b e r>b.

Passo 2

Conceitos físicos importantes (explicação didática): condutor em equilíbrio eletrostático.
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Ou seja, para qualquer ponto dentro da espessura do material (entre a e b neste problema) temos \mathbf{E}=\mathbf{0}. Isso ocorre porque cargas móveis no condutor se rearranjam até cancelar qualquer campo interno.
  • Cargas em condutores em equilíbrio se localizam nas superfícies (superfície interna e externa aqui).
  • A lei de Gauss (forma integral) é a ferramenta prática: \displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}. Numa situação com simetria esférica, a integral simplifica bastante.
    Explicando a lei de Gauss em miúdos: pegue uma superfície fechada (uma esfera concêntrica) e some o fluxo do campo elétrico por ela; isso vale \,Q_{\text{int}}/\varepsilon_0, onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro dessa superfície. Para uma esfera com simetria esférica o fluxo vira simplesmente E \cdot 4\pi r^{2}.

Passo 3

Determinar as cargas induzidas nas superfícies (pergunta a). Raciocínio passo a passo:
  1. Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r tal que a<r<b; essa superfície está dentro do material condutor. Como o condutor tem \mathbf{E}=\mathbf{0} na sua espessura, o fluxo é zero:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
  1. Aplicando a lei de Gauss para essa superfície, obtemos
0=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície gaussiana. Dentro dessa superfície temos a carga puntiforme +q no centro e a carga que estiver na superfície interna da casca (vamos chamar de Q_{\text{interna}}). Logo
Q_{\text{enc}}=+q+Q_{\text{interna}}.
  1. Para que Q_{\text{enc}}=0 é necessário que
+q+Q_{\text{interna}}=0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{interna} }=-q.
Portanto a superfície interna aparece com carga -q.
4) A casca é inicialmente neutra, então a soma das cargas na casca (interna + externa) deve ser zero. Logo a carga na superfície externa, Q_{\text{externa}}, satisfaz
Q_{\text{interna}}+Q_{\text{externa}}=0 \quad\Rightarrow\quad -q+Q_{\text{externa}}=0,
assim
Q_{\text{externa}}=+q.
Resumo desta etapa: surge -q na superfície interna e +q na superfície externa. (Se você já sentiu isso antes: é o comportamento típico — a carga interna induz carga oposta na face interna e a mesma carga aparece na face externa para conservar a neutralidade.)

Passo 4

Campo elétrico para r<a (pergunta b). Vamos usar Gauss com simetria esférica.
  1. Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio r com r<a. Essa esfera envolve apenas a carga puntiforme +q (não envolve a casca). Pela simetria esférica o campo tem módulo E(r) constante sobre a superfície e radial. A lei de Gauss dá:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  1. Aqui Q_{\text{enc}}=+q. Substituindo:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
  1. Isolando E(r):
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
  1. Direção: o campo é radial para fora (pois a carga central é positiva). Então, para r<a temos a expressão de módulo acima, apontando radialmente para fora.

Passo 5

Campo elétrico para a<r<b (pergunta c). Aqui a superfície gaussiana está dentro do material condutor. Como já lembramos, no condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material é nulo: \mathbf{E}=\mathbf{0}. Mas vamos mostrar isso com Gauss também:
  1. Escolha uma esfera gaussiana de raio r tal que a<r<b. As cargas dentro dela são a carga +q no centro e a carga -q na superfície interna. Assim Q_{\text{enc}}=+q+(-q)=0.
  2. Pela lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
  1. Logo E(r)=0 para a<r<b. Isso confirma a propriedade do condutor: campo zero dentro da espessura.

Passo 6

Campo elétrico para r>b (pergunta d). Agora a superfície gaussiana engloba toda a casca e a carga puntiforme.
  1. Escolha uma esfera de raio r>b. As cargas dentro são: +q (carga central) mais a carga total da casca. A casca, sendo inicialmente neutra, tem carga total zero; alternativamente sabemos que induzidas foram -q (interna) e +q (externa), cuja soma é zero. Assim a carga total dentro da gaussiana é apenas +q.
  2. Aplicando Gauss com simetria esférica:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
  1. Assim obtemos a mesma expressão que na região interna à cavidade (mas agora válida fora de toda a casca):
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}},
com direção radial para fora. Isso mostra que, para pontos externos à casca, o conjunto carga central + casca se comporta como uma carga pontual +q no centro.

Passo 7

Observações finais e dicas para a prova (didática e prática):
  • Um jeito rápido de responder a) em prova: quando você coloca +q no interior de uma casca condutora neutra, aparece -q na superfície interna e +q na superfície externa. Decora essa “marca registrada” — cai muito em prova.
  • Para achar E com simetria esférica: sempre usar Gauss com superfície esférica concêntrica; calcular Q_{\text{enc}} e escrever E\cdot 4\pi r^{2}=Q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0}.
  • Se quiser as densidades de superfície: \sigma_{\text{interna}}=\dfrac{-q}{4\pi a^{2}} e \sigma_{\text{externa}}=\dfrac{+q}{4\pi b^{2}}. Pode ser pedido em algumas questões.
  • Resumindo: dentro da cavidade o campo é como de uma carga +q; dentro do material condutor o campo é zero; fora, o campo é o de uma carga +q concentrada no centro.

Resposta

a) Carga na superfície interna: -q. Carga na superfície externa: +q.
b) Para r<a: \displaystyle E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}} (radial para fora).
c) Para a<r<b: \displaystyle E(r)=0.
d) Para r>b: \displaystyle E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}} (radial para fora).

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