Uma carga puntiforme
é colocada no centro de um casca esférica, condutora e eletricamente neutra, de raio interno
e raio externo
. a) Quais são as cargas que aparecem nas superfícies interna e externa da casca esférica? Encontre expressões para o campo elétrico a uma distância
do centro da casca esférica, para b) r<a, c)
e d)
. R: a) -q e
d)
.
Passo 1
O enunciado coloca uma carga puntiforme
no centro de uma casca esférica condutora, eletricamente neutra, com raio interno
e raio externo
. As perguntas são:
a) Quais são as cargas que aparecem nas superfícies interna e externa da casca esférica?
b) Qual é o campo elétrico para ?
c) Qual é o campo elétrico para ?
d) Qual é o campo elétrico para ?
a) Quais são as cargas que aparecem nas superfícies interna e externa da casca esférica?
b) Qual é o campo elétrico para
c) Qual é o campo elétrico para
d) Qual é o campo elétrico para
Informações dadas e condições relevantes que temos à mão:
- Há uma carga puntiforme
localizada exatamente no centro da casca. - A casca é condutora e inicialmente eletricamente neutra (carga líquida zero).
- A casca tem superfície interna de raio
e superfície externa de raio . - Queremos o campo elétrico em três regiões concêntricas em torno do centro:
, e .
Passo 2
Conceitos físicos importantes (explicação didática): condutor em equilíbrio eletrostático.
- Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é zero. Ou seja, para qualquer ponto dentro da espessura do material (entre
e neste problema) temos . Isso ocorre porque cargas móveis no condutor se rearranjam até cancelar qualquer campo interno. - Cargas em condutores em equilíbrio se localizam nas superfícies (superfície interna e externa aqui).
- A lei de Gauss (forma integral) é a ferramenta prática:
. Numa situação com simetria esférica, a integral simplifica bastante.
Explicando a lei de Gauss em miúdos: pegue uma superfície fechada (uma esfera concêntrica) e some o fluxo do campo elétrico por ela; isso vale, onde é a carga total dentro dessa superfície. Para uma esfera com simetria esférica o fluxo vira simplesmente .
Passo 3
Determinar as cargas induzidas nas superfícies (pergunta a). Raciocínio passo a passo:
- Considere uma superfície gaussiana esférica de raio
tal que ; essa superfície está dentro do material condutor. Como o condutor tem na sua espessura, o fluxo é zero:
- Aplicando a lei de Gauss para essa superfície, obtemos
onde
é a carga total contida dentro da superfície gaussiana. Dentro dessa superfície temos a carga puntiforme
no centro e a carga que estiver na superfície interna da casca (vamos chamar de
). Logo
- Para que
é necessário que
Portanto a superfície interna aparece com carga
.
4) A casca é inicialmente neutra, então a soma das cargas na casca (interna + externa) deve ser zero. Logo a carga na superfície externa, , satisfaz
4) A casca é inicialmente neutra, então a soma das cargas na casca (interna + externa) deve ser zero. Logo a carga na superfície externa,
assim
Resumo desta etapa: surge
na superfície interna e
na superfície externa. (Se você já sentiu isso antes: é o comportamento típico — a carga interna induz carga oposta na face interna e a mesma carga aparece na face externa para conservar a neutralidade.)
Passo 4
Campo elétrico para
(pergunta b). Vamos usar Gauss com simetria esférica.
- Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio
com . Essa esfera envolve apenas a carga puntiforme (não envolve a casca). Pela simetria esférica o campo tem módulo constante sobre a superfície e radial. A lei de Gauss dá:
- Aqui
. Substituindo:
- Isolando
:
- Direção: o campo é radial para fora (pois a carga central é positiva). Então, para
temos a expressão de módulo acima, apontando radialmente para fora.
Passo 5
Campo elétrico para
(pergunta c). Aqui a superfície gaussiana está dentro do material condutor. Como já lembramos, no condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do material é nulo:
. Mas vamos mostrar isso com Gauss também:
- Escolha uma esfera gaussiana de raio
tal que . As cargas dentro dela são a carga no centro e a carga na superfície interna. Assim . - Pela lei de Gauss:
- Logo
para . Isso confirma a propriedade do condutor: campo zero dentro da espessura.
Passo 6
Campo elétrico para
(pergunta d). Agora a superfície gaussiana engloba toda a casca e a carga puntiforme.
- Escolha uma esfera de raio
. As cargas dentro são: (carga central) mais a carga total da casca. A casca, sendo inicialmente neutra, tem carga total zero; alternativamente sabemos que induzidas foram (interna) e (externa), cuja soma é zero. Assim a carga total dentro da gaussiana é apenas . - Aplicando Gauss com simetria esférica:
- Assim obtemos a mesma expressão que na região interna à cavidade (mas agora válida fora de toda a casca):
com direção radial para fora. Isso mostra que, para pontos externos à casca, o conjunto carga central + casca se comporta como uma carga pontual
no centro.
Passo 7
Observações finais e dicas para a prova (didática e prática):
- Um jeito rápido de responder a) em prova: quando você coloca
no interior de uma casca condutora neutra, aparece na superfície interna e na superfície externa. Decora essa “marca registrada” — cai muito em prova. - Para achar
com simetria esférica: sempre usar Gauss com superfície esférica concêntrica; calcular e escrever . - Se quiser as densidades de superfície:
e . Pode ser pedido em algumas questões. - Resumindo: dentro da cavidade o campo é como de uma carga
; dentro do material condutor o campo é zero; fora, o campo é o de uma carga concentrada no centro.
Resposta
a) Carga na superfície interna:
. Carga na superfície externa:
.
b) Para :
(radial para fora).
c) Para :
.
d) Para :
(radial para fora).
b) Para
c) Para
d) Para