- (UFRGS-RS) Dois corpos de massas diferentes, cada um preso a uma mola distinta, executam movimentos harmônicos simples de mesma frequência e têm a mesma energia mecânica.
Nesse caso,
A) o corpo de menor massa oscila com menor período.
B) o corpo de menor massa oscila com maior período.
C) os corpos oscilam com amplitudes iguais.
D) o corpo de menor massa oscila com menor amplitude.
E) o corpo de menor massa oscila com maior amplitude.
A) o corpo de menor massa oscila com menor período.
B) o corpo de menor massa oscila com maior período.
C) os corpos oscilam com amplitudes iguais.
D) o corpo de menor massa oscila com menor amplitude.
E) o corpo de menor massa oscila com maior amplitude.
Passo 1
O enunciado dá duas oscilações harmônicas com estas condições:
- Dois corpos com massas diferentes (vou chamar de
e ,) cada um preso numa mola distinta (constantes elásticas e ,). - Ambos executam movimento harmônico simples com a mesma frequência (ou seja, mesma pulsação
,). - Ambos têm a mesma energia mecânica total (vou chamar de
, para cada um).
O que o enunciado pergunta é: entre as alternativas A, B, C, D e E, qual descreve corretamente a relação entre período e amplitudes dos corpos, dado o que foi informado.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas essenciais do movimento massa-mola (aquelas que você precisa saber para resolver isso). Vou explicar cada uma com calma:
- A pulsação (frequência angular) de um sistema massa-mola é dada por
onde
é a constante elástica da mola e
é a massa. Aqui
tem unidades de rad/s.
- O período
(tempo de uma oscilação completa) está relacionado com por
Ou seja,
depende somente de
.
- A energia mecânica total (energia potencial máxima = energia total) de um oscilador massa-mola é
onde
é a amplitude da oscilação. Outra forma equivalente, usando
, é
Aqui
é constante ao longo do tempo na ausência de amortecimento.
Passo 3
Usando a informação “mesma frequência” (mesma pulsação
), para cada sistema valem
Elevando ao quadrado obtemos
Portanto podemos escrever, para cada sistema,
Passo 4
Como o período é
e ambos têm a mesma
, ambos têm o mesmo período. Logo:
- A alternativa A (“o corpo de menor massa oscila com menor período”) é falsa.
- A alternativa B (“o corpo de menor massa oscila com maior período”) é falsa.
Ambas seriam verdadeiras somente sedependesse da massa de forma diferente entre os dois — mas aqui é igual para ambos.
Passo 5
Agora vamos relacionar as amplitudes usando a igualdade de energia. Partindo de
e substituindo
(usando o resultado do Passo 3), temos
Isolando a amplitude
,
e portanto
Essa expressão mostra claramente que, com
e
fixos, a amplitude
é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa:
Passo 6
Interpretação prática do resultado do passo anterior: se uma massa é menor, o denominador
é menor, logo a amplitude
fica maior. Assim:
- As amplitudes não são iguais, então a alternativa C é falsa.
- O corpo de menor massa apresenta amplitude maior, portanto a alternativa D (“o corpo de menor massa oscila com menor amplitude”) é falsa.
- A alternativa E (“o corpo de menor massa oscila com maior amplitude”) é verdadeira.
Passo 7
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido (só para confirmar): suponha
e energia
. Se
e
, então
Viu? a massa menor teve amplitude maior.
Resposta
E