1. (UFRGS-RS) Dois corpos de massas diferentes, cada um preso a uma mola distinta, executam movimentos harmônicos simples de mesma frequência e têm a mesma energia mecânica.
Nesse caso,
A) o corpo de menor massa oscila com menor período.
B) o corpo de menor massa oscila com maior período.
C) os corpos oscilam com amplitudes iguais.
D) o corpo de menor massa oscila com menor amplitude.
E) o corpo de menor massa oscila com maior amplitude.

Passo 1

O enunciado dá duas oscilações harmônicas com estas condições:
  • Dois corpos com massas diferentes (vou chamar de \,m_1 e \,m_2,) cada um preso numa mola distinta (constantes elásticas \,k_1 e \,k_2,).
  • Ambos executam movimento harmônico simples com a mesma frequência (ou seja, mesma pulsação \,\omega,).
  • Ambos têm a mesma energia mecânica total (vou chamar de \,E, para cada um).
    O que o enunciado pergunta é: entre as alternativas A, B, C, D e E, qual descreve corretamente a relação entre período e amplitudes dos corpos, dado o que foi informado.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas essenciais do movimento massa-mola (aquelas que você precisa saber para resolver isso). Vou explicar cada uma com calma:
  • A pulsação (frequência angular) de um sistema massa-mola é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
onde \,k é a constante elástica da mola e \,m é a massa. Aqui \omega tem unidades de rad/s.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Ou seja, T depende somente de \omega.
  • A energia mecânica total (energia potencial máxima = energia total) de um oscilador massa-mola é
E=\frac{1}{2}kA^2,
onde \,A é a amplitude da oscilação. Outra forma equivalente, usando \,k=m\omega^2, é
E=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2.
Aqui \,E é constante ao longo do tempo na ausência de amortecimento.

Passo 3

Usando a informação “mesma frequência” (mesma pulsação \omega), para cada sistema valem
\omega=\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}=\sqrt{\frac{k_2}{m_2}}.
Elevando ao quadrado obtemos
\frac{k_1}{m_1}=\frac{k_2}{m_2}=\omega^2.
Portanto podemos escrever, para cada sistema,
k_1=m_1\omega^2,\qquad k_2=m_2\omega^2.

Passo 4

Como o período é T=2\pi/\omega e ambos têm a mesma \omega, ambos têm o mesmo período. Logo:
  • A alternativa A (“o corpo de menor massa oscila com menor período”) é falsa.
  • A alternativa B (“o corpo de menor massa oscila com maior período”) é falsa.
    Ambas seriam verdadeiras somente se \omega dependesse da massa de forma diferente entre os dois — mas aqui \omega é igual para ambos.

Passo 5

Agora vamos relacionar as amplitudes usando a igualdade de energia. Partindo de
E=\frac{1}{2}kA^2
e substituindo k=m\omega^2 (usando o resultado do Passo 3), temos
E=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2.
Isolando a amplitude A,
A^2=\frac{2E}{m\omega^2},
e portanto
A=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}.
Essa expressão mostra claramente que, com \,E e \omega fixos, a amplitude A é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa:
A\propto\frac{1}{\sqrt{m}}.

Passo 6

Interpretação prática do resultado do passo anterior: se uma massa é menor, o denominador \sqrt{m} é menor, logo a amplitude A fica maior. Assim:
  • As amplitudes não são iguais, então a alternativa C é falsa.
  • O corpo de menor massa apresenta amplitude maior, portanto a alternativa D (“o corpo de menor massa oscila com menor amplitude”) é falsa.
  • A alternativa E (“o corpo de menor massa oscila com maior amplitude”) é verdadeira.

Passo 7

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido (só para confirmar): suponha \omega=2\\ \text{rad/s} e energia E=8\\ \text{J}. Se m_1=1\\ \text{kg} e m_2=4\\ \text{kg}, então
A_1=\sqrt{\frac{2\cdot 8}{1\cdot 2^2}}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2,
A_2=\sqrt{\frac{2\cdot 8}{4\cdot 2^2}}=\sqrt{\frac{16}{16}}=\sqrt{1}=1.
Viu? a massa menor teve amplitude maior.

Resposta

E

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