- Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K , executa um movimento harmônico simples ao longo de um eixo horizontal Ox. As elongações do corpo variam de
até
. Determine a elongação quando a energia cinética do bloco se iguala à energia potencial elástica, indicando o resultado em um gráfico dessas energias em função da posição.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Um corpo de massa
está preso a uma mola de constante elástica e faz movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox. - As elongações variam entre
e (ou seja, é a amplitude). - O que é pedido:
- Determinar a(s) elongação(ões)
em que a energia cinética do bloco é igual à energia potencial elástica. - Indicar o resultado num gráfico das energias em função da posição
.
- Determinar a(s) elongação(ões)
Passo 2
Vamos lembrar e escrever as expressões das energias relevantes de forma clara.
- Energia potencial elástica da mola em função da posição
:
Expliquei:
é a energia armazenada na mola quando ela está deslocada de
até
; a constante
mede a “dureza” da mola.
- Energia cinética do bloco em termos da velocidade
:
Expliquei:
é a energia associada ao movimento;
é a massa e
a velocidade instantânea.
Passo 3
Usamos a conservação da energia mecânica (não há atrito nem forças externas dissipativas): a energia total
é constante e igual à soma de
e
:
No instante das extremidades
a velocidade é zero (
), logo ali toda a energia é potencial. Portanto a energia total é
Expliquei: esse é um passo chave — a partir de um ponto conhecido (a extremidade) obtemos
em função de
e
.
Passo 4
Escrevemos
em função de
usando
e
:
Expliquei: assim representamos a energia cinética em cada posição
sem precisar da velocidade explicitamente.
Passo 5
Agora impomos a condição pedida: energia cinética igual à energia potencial elástica, ou seja
. Substituindo as expressões:
Podemos simplificar a equação cancelando o fator comum
(assumindo
):
Passo 6
Resolva a equação obtida:
Tomando raízes:
Expliquei: há duas posições simétricas (à direita e à esquerda da origem) onde
.
Passo 7
Calcule também o valor das energias nesses pontos (útil para o gráfico): como
, em
temos
Como
nesses pontos, também
Expliquei: isso mostra que em
cada forma de energia tem metade da energia total
.
Passo 8
Descrevo como fica o gráfico das energias
,
e
em função de
(para
variando de
a
):
- A curva de
é uma parábola com mínimo em (valor zero) e atinge nas extremidades . - A curva de
é uma parábola invertida (pois depende de ), com máximo em valendo e zeros em . - A linha de
é uma reta horizontal em . - As interseções entre
e ocorrem em ; nesses pontos ambas as curvas valem .
Visualmente: pense numa parábola positiva (U) e uma parábola negativa espelhada (T), encontrando-se em dois pontos simétricos a uma distância
da origem.