1. Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K , executa um movimento harmônico simples ao longo de um eixo horizontal Ox. As elongações do corpo variam de \mathrm{x}=-\mathrm{A} até \mathrm{x}=\mathrm{A}. Determine a elongação quando a energia cinética do bloco se iguala à energia potencial elástica, indicando o resultado em um gráfico dessas energias em função da posição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Um corpo de massa m está preso a uma mola de constante elástica K e faz movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox.
  • As elongações variam entre x=-A e x=+A (ou seja, A é a amplitude).
  • O que é pedido:
    1. Determinar a(s) elongação(ões) x em que a energia cinética do bloco é igual à energia potencial elástica.
    2. Indicar o resultado num gráfico das energias em função da posição x.

Passo 2

Vamos lembrar e escrever as expressões das energias relevantes de forma clara.
  • Energia potencial elástica da mola em função da posição x:
U(x)=\tfrac{1}{2}Kx^{2}.
Expliquei: U é a energia armazenada na mola quando ela está deslocada de 0 até x; a constante K mede a “dureza” da mola.
  • Energia cinética do bloco em termos da velocidade v:
T=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
Expliquei: T é a energia associada ao movimento; m é a massa e v a velocidade instantânea.

Passo 3

Usamos a conservação da energia mecânica (não há atrito nem forças externas dissipativas): a energia total E é constante e igual à soma de T e U:
E = T + U.
No instante das extremidades x=\pm A a velocidade é zero ( v=0), logo ali toda a energia é potencial. Portanto a energia total é
E = U(\pm A)=\tfrac{1}{2}K A^{2}.
Expliquei: esse é um passo chave — a partir de um ponto conhecido (a extremidade) obtemos E em função de K e A.

Passo 4

Escrevemos T em função de x usando E e U(x):
T(x)=E-U(x)=\tfrac{1}{2}K A^{2}-\tfrac{1}{2}K x^{2}=\tfrac{1}{2}K\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Expliquei: assim representamos a energia cinética em cada posição x sem precisar da velocidade explicitamente.

Passo 5

Agora impomos a condição pedida: energia cinética igual à energia potencial elástica, ou seja T(x)=U(x). Substituindo as expressões:
\tfrac{1}{2}K\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}Kx^{2}.
Podemos simplificar a equação cancelando o fator comum \tfrac{1}{2}K (assumindo K>0):
A^{2}-x^{2}=x^{2}.

Passo 6

Resolva a equação obtida:
A^{2}-x^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad A^{2}=2x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{A^{2}}{2}.
Tomando raízes:
x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\,A.
Expliquei: há duas posições simétricas (à direita e à esquerda da origem) onde T=U.

Passo 7

Calcule também o valor das energias nesses pontos (útil para o gráfico): como U(x)=\tfrac{1}{2}Kx^{2}, em x^{2}=A^{2}/2 temos
U = \tfrac{1}{2}K\cdot\frac{A^{2}}{2}=\tfrac{1}{4}K A^{2}.
Como T=U nesses pontos, também
T=\tfrac{1}{4}K A^{2}.
Expliquei: isso mostra que em x=\pm A/\sqrt{2} cada forma de energia tem metade da energia total E=\tfrac{1}{2}K A^{2}.

Passo 8

Descrevo como fica o gráfico das energias U(x), T(x) e E em função de x (para x variando de -A a A):
  • A curva de U(x)=\tfrac{1}{2}Kx^{2} é uma parábola com mínimo em x=0 (valor zero) e atinge \tfrac{1}{2}K A^{2} nas extremidades x=\pm A.
  • A curva de T(x)=\tfrac{1}{2}K(A^{2}-x^{2}) é uma parábola invertida (pois depende de -x^{2}), com máximo em x=0 valendo T(0)=\tfrac{1}{2}K A^{2} e zeros em x=\pm A.
  • A linha de E é uma reta horizontal em E=\tfrac{1}{2}K A^{2}.
  • As interseções entre U(x) e T(x) ocorrem em x=\pm \tfrac{A}{\sqrt{2}}; nesses pontos ambas as curvas valem \tfrac{1}{4}K A^{2}.
Visualmente: pense numa parábola positiva (U) e uma parábola negativa espelhada (T), encontrando-se em dois pontos simétricos a uma distância A/\sqrt{2} da origem.

Resposta

x=\pm\displaystyle\frac{A}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}A
U=T=\displaystyle\frac{1}{4}K A^{2}

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