Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma casca esférica isolante. O fluxo de campo elétrico em N \times \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C} através da superfície externa da casca é
Escolha uma opção:
◯ a. Q / 2 \epsilon_{0}
◯ b. 0
◯ c. Q / \epsilon_{0}
◯ d. 2 \mathrm{Q} / \epsilon_{0}
◯ e. Q / 4 \epsilon_{0}

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica isolante com carga total Q distribuída uniformemente. Pergunta-se qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície externa da casca. As alternativas são:
  • a. Q / 2\epsilon_{0}
  • b. 0
  • c. Q / \epsilon_{0}
  • d. 2Q / \epsilon_{0}
  • e. Q / 4\epsilon_{0}
Informações relevantes do enunciado:
  • Há uma carga total \,Q\, associada à casca esférica.
  • A superfície pela qual se quer o fluxo é a superfície externa da casca (ou seja, o fechamento esférico que limita o objeto pela parte externa).
  • A casca é isolante (a carga fica presa onde foi distribuída, mas para o fluxo interessa apenas o total Q).

Passo 2

Conceito que vou usar: fluxo elétrico e Lei de Gauss.
  • Fluxo elétrico através de uma superfície fechada: é a integral de superfície de \mathbf{E} sobre a superfície orientada. Em fórmulas,
\Phi = \oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},í
onde d\mathbf{A} é um vetor de área apontando para fora, com módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície.
  • Lei de Gauss (em forma integral): declara que o fluxo total de \mathbf{E} através de qualquer superfície fechada é igual à carga total Q_{\text{int}} contida no volume fechado por essa superfície dividido por \epsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
Aqui \epsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (constante), e Q_{\text{int}} é a carga total que está estritamente dentro da superfície fechada.
Explicação didática rápida: a Lei de Gauss é verdadeira para qualquer superfície fechada, independente da forma, desde que Q_{\text{int}} seja a carga dentro. Não precisamos calcular \mathbf{E} se só quisermos o fluxo total; basta saber quanto de carga está dentro.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss ao problema.
  • A superfície externa da casca é uma superfície fechada que envolve toda a carga da casca (a carga total Q está sobre/na casca, ou distribuída no material da casca, mas todas essas cargas ficam contidas pelo fechamento externo). Assim, a carga total contida pelo volume delimitado pela superfície externa é
Q_{\text{int}} = Q.
  • Pelo enunciado a superfície pela qual se quer o fluxo é justamente essa superfície externa que fecha o corpo; portanto, pela Lei de Gauss:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}.
Observação prática (para quem ficar em dúvida): se preferir ver com cálculo explícito, considere uma superfície esférica concêntrica com raio r maior que o raio da casca. Por simetria esférica o campo fora da casca é radial e de módulo
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}},
e o fluxo através dessa esfera é
\Phi=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}.
Se a casca tem carga sobre a superfície externa, pode-se tomar r infinitesimalmente maior que o raio da casca; o resultado continua \,Q/\epsilon_{0}\,.

Passo 4

Resposta às possíveis confusões:
  • Não importa se a carga está distribuída sobre a superfície da casca ou no seu volume (no caso de um material isolante com carga volumétrica), desde que toda a carga Q esteja dentro do fechamento externo considerado: a Lei de Gauss dá o fluxo total igual a Q/\epsilon_{0}.
  • O fluxo total através da superfície externa não é zero, salvo se não houver carga no interior. Aqui há carga Q, logo o fluxo é diferente de zero.
  • Não é necessário conhecer a forma exata do campo em cada ponto para obter o fluxo total; a Lei de Gauss entrega o resultado direto.

Passo 5

Resumo final do raciocínio: a superfície externa é uma superfície fechada que contém a carga total Q. Pela Lei de Gauss, o fluxo total através dessa superfície é \dfrac{Q}{\epsilon_{0}}. Portanto a alternativa correta é a que corresponde a esse valor.

Resposta

c. \dfrac{Q}{\epsilon_{0}}

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