Uma carga
está distribuída uniformemente em uma casca esférica isolante. O fluxo de campo elétrico em N
através da superfície externa da casca é
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. 0
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b. 0
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica isolante com carga total
distribuída uniformemente. Pergunta-se qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície externa da casca. As alternativas são:
- a.
- b.
- c.
- d.
- e.
Informações relevantes do enunciado:
- Há uma carga total
associada à casca esférica. - A superfície pela qual se quer o fluxo é a superfície externa da casca (ou seja, o fechamento esférico que limita o objeto pela parte externa).
- A casca é isolante (a carga fica presa onde foi distribuída, mas para o fluxo interessa apenas o total
).
Passo 2
Conceito que vou usar: fluxo elétrico e Lei de Gauss.
- Fluxo elétrico através de uma superfície fechada: é a integral de superfície de
sobre a superfície orientada. Em fórmulas,
onde
é um vetor de área apontando para fora, com módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície.
- Lei de Gauss (em forma integral): declara que o fluxo total de
através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida no volume fechado por essa superfície dividido por :
Aqui
é a permissividade elétrica do vácuo (constante), e
é a carga total que está estritamente dentro da superfície fechada.
Explicação didática rápida: a Lei de Gauss é verdadeira para qualquer superfície fechada, independente da forma, desde que
seja a carga dentro. Não precisamos calcular
se só quisermos o fluxo total; basta saber quanto de carga está dentro.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss ao problema.
- A superfície externa da casca é uma superfície fechada que envolve toda a carga da casca (a carga total
está sobre/na casca, ou distribuída no material da casca, mas todas essas cargas ficam contidas pelo fechamento externo). Assim, a carga total contida pelo volume delimitado pela superfície externa é
- Pelo enunciado a superfície pela qual se quer o fluxo é justamente essa superfície externa que fecha o corpo; portanto, pela Lei de Gauss:
Observação prática (para quem ficar em dúvida): se preferir ver com cálculo explícito, considere uma superfície esférica concêntrica com raio
maior que o raio da casca. Por simetria esférica o campo fora da casca é radial e de módulo
e o fluxo através dessa esfera é
Se a casca tem carga sobre a superfície externa, pode-se tomar
infinitesimalmente maior que o raio da casca; o resultado continua
.
Passo 4
Resposta às possíveis confusões:
- Não importa se a carga está distribuída sobre a superfície da casca ou no seu volume (no caso de um material isolante com carga volumétrica), desde que toda a carga
esteja dentro do fechamento externo considerado: a Lei de Gauss dá o fluxo total igual a . - O fluxo total através da superfície externa não é zero, salvo se não houver carga no interior. Aqui há carga
, logo o fluxo é diferente de zero. - Não é necessário conhecer a forma exata do campo em cada ponto para obter o fluxo total; a Lei de Gauss entrega o resultado direto.
Passo 5
Resumo final do raciocínio: a superfície externa é uma superfície fechada que contém a carga total
. Pela Lei de Gauss, o fluxo total através dessa superfície é
. Portanto a alternativa correta é a que corresponde a esse valor.
Resposta
c.