Encontre a eficiência de um ciclo constituído por duas linhas isocóricas e duas isotérmicas, se o volume varia a vezes e a temperatura absoluta \beta vezes dentro do ciclo. A substância de trabalho é um gás ideal com o expoente adiabático \gamma.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo termodinâmico formado por duas linhas isocóricas e duas isotérmicas. As informações numéricas/paramétricas são:
  • O volume varia a vezes durante o ciclo: isto é, se os volumes relevantes forem V_1 e V_2, então \,V_2 = a\,V_1.
  • A temperatura absoluta varia \beta vezes: isto é, se as temperaturas extrema forem T_c (fria) e T_h (quente), então \,T_h = \beta\,T_c.
  • A substância de trabalho é um gás ideal com expoente adiabático \gamma.
    O que se pede: encontrar a eficiência \eta do ciclo.

Passo 2

Identificar os pontos importantes do ciclo e as convenções que vou usar (sem resolver ainda):
  • Vou rotular os estados seguindo a ordem natural do ciclo:
    • Estado 1: início da isoterma quente (temperatura T_h) e volume V_1.
    • Estado 2: fim da isoterma quente (mesma temperatura T_h) e volume V_2 = a V_1.
    • Estado 3: após a isocórica que baixa a temperatura até T_c, ainda em V_2.
    • Estado 4: após a isoterma fria (temperatura T_c) e volume volta a V_1.
    • De 4 para 1: isocórica que aquece de T_c para T_h em V_1.
  • Observação importante (tipicamente assumida neste tipo de ciclo): este é o ciclo de Stirling (duas isotermas + duas isochores). Para obter eficiência simples usa-se a hipótese de regenerator ideal: o calor trocado nas isochores é recuperado internamente pelo regenerator, de forma que o único calor trocado com reservatórios externos ocorre nas isotermas. Vou explicar e justificar isso mais adiante porque é essencial para a conta.

Passo 3

Relembrando fórmulas e definindo variáveis (aulas rápidas e claras):
  • Lei do gás ideal: \,pV = nRT, onde \,p é pressão, \,V volume, \,n número de mols, \,R constante dos gases e \,T temperatura absoluta.
  • Isoterma (temperatura constante T): o calor trocado em um processo isotérmico reversível com gás ideal é igual ao trabalho realizado, dado por
Q_{\text{iso}} = nR T \ln\!\left(\frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}}\right),
onde \,V_{\text{i}} e \,V_{\text{f}} são volumes inicial e final dessa isoterma. Explicação rápida: em isoterma \Delta U = 0 (energia interna de gás ideal depende só de T), pela 1ª lei Q=W, e W=\int p\,dV=\int (nRT/V)\,dV = nRT\ln(V_f/V_i).
  • Isocórica (volume constante): o calor trocado é \,Q_V = n C_V \Delta T, onde \,C_V é a capacidade molar a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura.

Passo 4

Calcular as trocas de calor nas isotermas (essas são as trocas externas relevantes com reservatórios):
  • Isoterma quente (1 \to 2) a T_h, volume varia de V_1 para V_2 = aV_1. Pelo resultado acima:
Q_h = Q_{1\to2} = nR T_h \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = nR T_h \ln a.
Este é o calor absorvido do reservatório quente (positivo).
  • Isoterma fria (3 \to 4) a T_c, o gás é comprimido de V_2 para V_1. O calor trocado é
Q_{3\to4} = nR T_c \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right) = nR T_c \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\,nR T_c \ln a.
O valor negativo indica calor saindo do gás; a magnitude rejeitada ao reservatório frio é |Q_{3\to4}| = nR T_c \ln a.

Passo 5

Explicar o papel do regenerator e por que as isochores não entram no balanço externo:
  • Nas isochores (2 \to 3 e 4 \to 1) o gás troca calor para reduzir/aumentar sua temperatura entre T_h e T_c, mas em um ciclo de Stirling ideal existe um regenerator que absorve o calor liberado em 2 \to 3 e devolve exatamente esse calor em 4 \to 1. Assim, sem perdas, não há troca líquida de calor com reservatórios externos durante as isochores. Portanto, o calor recebido do reservatório quente é apenas Q_h (isoterma quente) e o calor rejeitado ao reservatório frio é |Q_{3\to4}| (isoterma fria).
  • Se não houvesse regenerator perfeito, as isochores também trocariam calor com reservatórios externos e a expressão mudaria; o enunciado é o caso clássico onde se considera o ciclo de duas isotermas e duas isochores (Stirling), portanto a hipótese de regenerador ideal é natural aqui.

Passo 6

Escrever a eficiência e simplificar usando a relação \,T_h=\beta T_c:
  • Definição de eficiência: \displaystyle \eta = \frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}} = \frac{Q_h - Q_{\text{rejeitado}}}{Q_h}.í
  • Com os valores encontrados:
Q_h = nR T_h \ln a,\qquad Q_{\text{rejeitado}} = nR T_c \ln a.
  • Logo
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{rejeitado}}}{Q_h} = 1 - \frac{nR T_c \ln a}{nR T_h \ln a} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
  • Usando \,T_h = \beta T_c obtemos
\eta = 1 - \frac{1}{\beta}.

Passo 7

Interpretações e observações finais (didáticas):
  • A eficiência ficou independente de a e de \gamma. Explicação curta: a aparece tanto no calor absorvido quanto no rejeitado como o mesmo fator \ln a, cancelando-se; \gamma não entra porque não houve processos adiabáticos no ciclo (só isotermas e isochores), e portanto as propriedades adiabáticas do gás não afetam a eficiência do ciclo ideal com regenerator perfeito.
  • A expressão \eta = 1 - T_c/T_h é exatamente a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas; isto significa que o ciclo de Stirling ideal, com regenerador perfeito, tem eficiência igual à eficiência de Carnot (máxima entre esses dois reservatórios).

Resposta

\displaystyle \eta = 1 - \frac{1}{\beta}

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