Encontre a eficiência de um ciclo constituído por duas linhas isocóricas e duas isotérmicas, se o volume varia a vezes e a temperatura absoluta
vezes dentro do ciclo. A substância de trabalho é um gás ideal com o expoente adiabático
.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo termodinâmico formado por duas linhas isocóricas e duas isotérmicas. As informações numéricas/paramétricas são:
- O volume varia
vezes durante o ciclo: isto é, se os volumes relevantes forem e , então . - A temperatura absoluta varia
vezes: isto é, se as temperaturas extrema forem (fria) e (quente), então . - A substância de trabalho é um gás ideal com expoente adiabático
.
O que se pede: encontrar a eficiênciado ciclo.
Passo 2
Identificar os pontos importantes do ciclo e as convenções que vou usar (sem resolver ainda):
- Vou rotular os estados seguindo a ordem natural do ciclo:
- Estado 1: início da isoterma quente (temperatura
) e volume . - Estado 2: fim da isoterma quente (mesma temperatura
) e volume . - Estado 3: após a isocórica que baixa a temperatura até
, ainda em . - Estado 4: após a isoterma fria (temperatura
) e volume volta a . - De 4 para 1: isocórica que aquece de
para em .
- Estado 1: início da isoterma quente (temperatura
- Observação importante (tipicamente assumida neste tipo de ciclo): este é o ciclo de Stirling (duas isotermas + duas isochores). Para obter eficiência simples usa-se a hipótese de regenerator ideal: o calor trocado nas isochores é recuperado internamente pelo regenerator, de forma que o único calor trocado com reservatórios externos ocorre nas isotermas. Vou explicar e justificar isso mais adiante porque é essencial para a conta.
Passo 3
Relembrando fórmulas e definindo variáveis (aulas rápidas e claras):
- Lei do gás ideal:
, onde é pressão, volume, número de mols, constante dos gases e temperatura absoluta. - Isoterma (temperatura constante
): o calor trocado em um processo isotérmico reversível com gás ideal é igual ao trabalho realizado, dado por
onde
e
são volumes inicial e final dessa isoterma. Explicação rápida: em isoterma
(energia interna de gás ideal depende só de
), pela 1ª lei
, e
.
- Isocórica (volume constante): o calor trocado é
, onde é a capacidade molar a volume constante e é a variação de temperatura.
Passo 4
Calcular as trocas de calor nas isotermas (essas são as trocas externas relevantes com reservatórios):
- Isoterma quente (1
2) a , volume varia de para . Pelo resultado acima:
Este é o calor absorvido do reservatório quente (positivo).
- Isoterma fria (3
4) a , o gás é comprimido de para . O calor trocado é
O valor negativo indica calor saindo do gás; a magnitude rejeitada ao reservatório frio é
.
Passo 5
Explicar o papel do regenerator e por que as isochores não entram no balanço externo:
- Nas isochores (2
3 e 4 1) o gás troca calor para reduzir/aumentar sua temperatura entre e , mas em um ciclo de Stirling ideal existe um regenerator que absorve o calor liberado em 2 3 e devolve exatamente esse calor em 4 1. Assim, sem perdas, não há troca líquida de calor com reservatórios externos durante as isochores. Portanto, o calor recebido do reservatório quente é apenas (isoterma quente) e o calor rejeitado ao reservatório frio é (isoterma fria). - Se não houvesse regenerator perfeito, as isochores também trocariam calor com reservatórios externos e a expressão mudaria; o enunciado é o caso clássico onde se considera o ciclo de duas isotermas e duas isochores (Stirling), portanto a hipótese de regenerador ideal é natural aqui.
Passo 6
Escrever a eficiência e simplificar usando a relação
:
- Definição de eficiência:
- Com os valores encontrados:
- Logo
- Usando
obtemos
Passo 7
Interpretações e observações finais (didáticas):
- A eficiência ficou independente de
e de . Explicação curta: aparece tanto no calor absorvido quanto no rejeitado como o mesmo fator , cancelando-se; não entra porque não houve processos adiabáticos no ciclo (só isotermas e isochores), e portanto as propriedades adiabáticas do gás não afetam a eficiência do ciclo ideal com regenerator perfeito. - A expressão
é exatamente a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas; isto significa que o ciclo de Stirling ideal, com regenerador perfeito, tem eficiência igual à eficiência de Carnot (máxima entre esses dois reservatórios).