Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma casca esférica isolante. O fluxo de campo elétrico em \mathrm{N} \times \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C} através da superfície interna da casca é
Escolha uma opção:
◯ a. Q / 2 \pi \epsilon_{0}
◯ b. Q / 4 \pi \epsilon_{0}
◯ c. 2 Q / \epsilon_{0}
◯ d. Q / \epsilon_{0}
◯ e. 0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação dada: uma carga total Q está distribuída uniformemente numa casca esférica isolante (isto é, toda a carga fica na região do material da casca, fora da cavidade interior).
  • Pergunta: calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície interna da casca (unidade \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática):
  • Fluxo elétrico: o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada S é definido por
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e d\mathbf{A} é o vetor área (magnitude igual à área infinitesimal e direção normal à superfície, apontando para fora).
  • Lei de Gauss (forma integral): a lei de Gauss relaciona esse fluxo com a carga total encerrada pela superfície:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície S e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Explicando cada símbolo:
  • \oint_{S} indica integração sobre uma superfície fechada;
  • \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o produto escalar entre o campo e o vetor área (conta quanto do campo “passa” por aquele pedaço de área);
  • Q_{\text{int}} é a soma algébrica de todas as cargas localizadas no interior da superfície escolhida;
  • \epsilon_{0} é uma constante (permissividade do vácuo).
Importante: a lei de Gauss vale sempre, independentemente de o material ser condutor ou isolante; ela usa apenas a carga efetivamente contida dentro da superfície fechada.

Passo 3

Aplicando ao problema:
  • Escolha natural: tome como superfície S a própria superfície interna da casca (é uma esfera fechada que delimita a cavidade interna).
  • Determine Q_{\text{int}}: como toda a carga Q está distribuída na casca (isto é, em uma região com raio maior que o raio da superfície interna), não há carga no interior da superfície interna. Logo
Q_{\text{int}}=0.
(Em outras palavras: a esfera interna não envolve nenhuma carga.)

Passo 4

Calcule o fluxo usando Gauss:
  • Pela lei de Gauss,
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}=\frac{0}{\epsilon_{0}}=0.
  • Interpretação adicional (didática): para qualquer superfície fechada que não encerre carga, o fluxo líquido é nulo. No caso esfericamente simétrico, isso também implica que o campo dentro da cavidade é nulo ( E=0 para r menor que o raio interno), de modo que a integral do fluxo dá zero diretamente.

Passo 5

Resumo final: a superfície interna não encerra carga, então o fluxo através dela é zero.

Resposta

e. 0

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