(2,5) Um raio de luz com intensidade I_{0} passa por dois filtros polarizadores ideais. O segundo polarizador possui eixo de polarização girado de \theta em relação ao primeiro polarizador. Você deseja ajustar o ângulo \theta de modo que a intensidade transmitida pelo conjunto seja igual a I_{0} / 3. Se a luz original for não polarizada, qual deveria ser o ângulo \theta ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: a intensidade inicial da luz é I_{0}.
  • Informação: a luz original é não polarizada.
  • Informação: existem dois polarizadores ideais em sequência; o eixo do segundo está girado de \theta em relação ao do primeiro.
  • Pedido: ajustar \theta para que a intensidade transmitida pelo conjunto seja igual a I_{0}/3.
Resumo do que precisamos achar: o valor de \theta que satisfaça a condição de intensidade transmitida I_{\text{final}} = I_{0}/3.

Passo 2

Entender o que faz o primeiro polarizador sobre luz não polarizada.
  • Conceito: luz não polarizada pode ser vista como uma mistura de todas as direções de polarização com igual probabilidade.
  • Efeito do primeiro polarizador ideal: ele transmite apenas a componente da luz com polarização alinhada ao seu eixo. Em média, metade da energia (intensidade) da luz não polarizada é transmitida.
  • Fórmula resultante: se a intensidade incidente é I_{0}, a intensidade imediatamente após o primeiro polarizador é
I_{1} = \frac{I_{0}}{2}.
Aqui I_{1} é a intensidade da luz já polarizada ao longo do eixo do primeiro polarizador.

Passo 3

Apresentar a lei de Malus (que vale para luz polarizada incidindo em um polarizador).
  • Enunciado da lei de Malus: para luz linearmente polarizada com intensidade I_{\text{inc}} que incide num polarizador cujo eixo faz ângulo \varphi com a direção da polarização, a intensidade transmitida é
I_{\text{trans}} = I_{\text{inc}} \cos^{2}(\varphi).
  • Explicação das variáveis:
    • I_{\text{inc}} é a intensidade da luz polarizada antes do polarizador;
    • \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador;
    • I_{\text{trans}} é a intensidade após o polarizador.
  • No nosso caso, depois do primeiro polarizador a luz está polarizada ao longo do eixo do primeiro, e o segundo está girado de \theta em relação a esse eixo. Portanto aqui \varphi=\theta.

Passo 4

Aplicar a lei de Malus ao segundo polarizador usando I_{1} como intensidade incidente.
  • Intensidade após o segundo polarizador:
I_{2} = I_{1}\cos^{2}(\theta).
  • Substituindo I_{1} = \dfrac{I_{0}}{2}, obtemos
I_{2} = \frac{I_{0}}{2}\cos^{2}(\theta).
Aqui I_{2} é a intensidade final transmitida pelo conjunto dos dois polarizadores.

Passo 5

Impor a condição do enunciado e resolver a equação para \theta.
  • Condição pedida: I_{2} = \dfrac{I_{0}}{3}.
  • Igualando:
\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}(\theta) = \frac{I_{0}}{3}.
  • Podemos dividir ambos os lados por I_{0} (assumindo I_{0}\neq 0):
\frac{1}{2}\cos^{2}(\theta) = \frac{1}{3}.
  • Multiplicando por 2:
\cos^{2}(\theta) = \frac{2}{3}.

Passo 6

Resolver para \theta e interpretar o resultado.
  • Tomando raiz quadrada (e lembrando que, fisicamente, o ângulo entre eixos costuma ser tomado no intervalo 0^\circ a 90^\circ, onde \cos\theta\ge 0):
\cos(\theta) = \sqrt{\frac{2}{3}}.
  • Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
  • Valor numérico: \sqrt{\dfrac{2}{3}}\approx 0,8164966. Então
\theta \approx 35,2643897^\circ \approx 35,26^\circ.
Em radianos isso é aproximadamente
\theta \approx 0,61548\\ \text{rad}.

Passo 7

Checagem rápida e comentário prático (como lembrar na prova).
  • Verificação de consistência: se \theta=0^\circ, então I_{2}=I_{0}/2 (máximo após o primeiro polarizador); se \theta=90^\circ, então I_{2}=0. Nosso valor 35,26^\circ dá um fator \cos^{2} entre 0 e 1, compatível com I_{2}=I_{0}/3 que fica entre 0 e I_{0}/2.
  • Dica para a prova: lembre que o primeiro polarizador reduz para metade quando a luz é não polarizada; depois aplique Malus ( I\propto\cos^{2}).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) \approx 35,26^\circ

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