Uma carga
está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio R e de espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme
situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância
do seu plano?
Passo 1
Resumo do enunciado:
Temos uma carga total Q distribuída uniformemente num anel circular de raio R (espessura desprezível). No eixo desse anel, a uma distância D do plano dele, está uma carga puntiforme q. Queremos achar a força elétrica que o anel exerce sobre q.
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb e superposição de campos.
O que vamos precisar:
Temos uma carga total Q distribuída uniformemente num anel circular de raio R (espessura desprezível). No eixo desse anel, a uma distância D do plano dele, está uma carga puntiforme q. Queremos achar a força elétrica que o anel exerce sobre q.
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb e superposição de campos.
O que vamos precisar:
- Lei de Coulomb: a força entre duas cargas é
onde
.
2) Simetria do anel para perceber que só sobra componente ao longo do eixo.
3) Integrar um elemento de carga ao longo do anel.
2) Simetria do anel para perceber que só sobra componente ao longo do eixo.
3) Integrar um elemento de carga
Passo 2
Modelagem do problema e expressão para um elemento de força
- Escolhemos um elemento infinitesimal de carga
no anel. - A distância entre esse
e a carga é
- Pela lei de Coulomb, a força de
sobre tem magnitude
- Essa força aponta ao longo da linha que une
a . Mas, por simetria, as componentes transversais (no plano do anel) se cancelam. Fica só a componente ao longo do eixo:
onde
.
Passo 3
Integração ao longo do anel
- Substituindo
e em :
- Como
percorre todo o anel e a expressão em frente a é constante, basta somar todos os para obter Q:
Resposta
A força (magnitude) que a carga
sente é
direcionada ao longo do eixo, apontando para o anel se
tiver sinal oposto (atração), ou para fora se tiver mesmo sinal (repulsão).