Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio R e de espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu plano?

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos uma carga total Q distribuída uniformemente num anel circular de raio R (espessura desprezível). No eixo desse anel, a uma distância D do plano dele, está uma carga puntiforme q. Queremos achar a força elétrica que o anel exerce sobre q.
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb e superposição de campos.
O que vamos precisar:
  1. Lei de Coulomb: a força entre duas cargas é
F = k,q1 q2r^2,
onde .
2) Simetria do anel para perceber que só sobra componente ao longo do eixo.
3) Integrar um elemento de carga ao longo do anel.

Passo 2

Modelagem do problema e expressão para um elemento de força
  1. Escolhemos um elemento infinitesimal de carga s = raizR^2 + D^2, no anel.
  2. A distância entre esse dF = k,dq;qs^2 = k,q,dql(R^2 + D^2r), e a carga dF!x = dF;costheta, é
  1. Pela lei de Coulomb, a força de sobre tem magnitude
  1. Essa força aponta ao longo da linha que une a . Mas, por simetria, as componentes transversais (no plano do anel) se cancelam. Fica só a componente ao longo do eixo:
onde .

Passo 3

Integração ao longo do anel
  1. Substituindo dFx = k,q,dq(R^2 + D^2);DraizR^2 + D^2 = k,q,D;dq(R^2 + D^2)^3/2, e F = integral dFx = k,q,D;1(R^2 + D^2)^3/2;integral dq = k,q,D;Q(R^2 + D^2)^3/2, em :
  1. Como percorre todo o anel e a expressão em frente a é constante, basta somar todos os para obter Q:

Resposta

A força (magnitude) que a carga boxedF = 14pivarepsilon0,Q,q,Dl(R^2 + D^2r)^3/2,, sente é
direcionada ao longo do eixo, apontando para o anel se tiver sinal oposto (atração), ou para fora se tiver mesmo sinal (repulsão).

Exercícios relacionados