Da carga Q que uma pequena esfera contém inicialmente, uma parte q é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades. As duas esferas podem ser consideradas pontuais para que valores de q/Q a força eletrostática entre eles é máxima?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma esfera com carga inicial $ Q $ e transferimos uma parte dessa carga, $ q $, para uma segunda esfera próxima. Queremos descobrir qual o valor de $ \frac{q}{Q} $ que faz com que a força eletrostática entre as duas esferas seja máxima. Para resolver isso, vamos usar a lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas.
Passo 2
A força eletrostática entre duas cargas pode ser calculada usando a fórmula da Lei de Coulomb:
onde:
- $ F $ é a força eletrostática,
- $ k $ é a constante de Coulomb,
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas das esferas,
- $ d $ é a distância entre elas.
Passo 3
No nosso caso, a primeira esfera fica com carga $ Q - q $ depois de transferir $ q $ para a segunda esfera. Então, podemos reescrever a fórmula da força:
Queremos maximizar essa força em relação a $ q $.
Passo 4
Para encontrar o valor que maximiza a força, vamos considerar a função:
Vamos derivar essa função em relação a $ q $ e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Calculando a derivada de $ F(q) $ em relação a $ q $:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação $ Q - 2q = 0 $ para $ q $:
Então, a carga $ q $ que maximiza a força é metade da carga inicial $ Q $.
Resposta
O valor de $ \frac{q}{Q} $ que maximiza a força eletrostática entre as duas esferas é: