Considere a superposição de duas ondas que se propagam de acordo com as equações: y1(x,t)= 0,5 sen(30piX + 10 pi t) y2(x,t) = 0,5 sen(30 piX - 10 pi t). Nas quais todas as unidades adotadas pertencem ao SI (metro, segundo etc.). Escreva a equação que descreve a onda estacionária resultante. Em que posições se formarão os nós? Em que posições se formarão os ventres?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre superposição de ondas, que faz parte da física de ondas. A gente vai precisar usar as equações das ondas dadas para encontrar a equação da onda estacionária resultante. Além disso, vamos descobrir onde se formam os nós e os ventres dessa onda estacionária.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma onda estacionária. Uma onda estacionária ocorre quando duas ondas de mesma frequência e amplitude se movem em direções opostas e se superpõem. Isso gera pontos fixos chamados nós, onde a amplitude é sempre zero, e ventres, onde a amplitude é máxima.
Passo 3
As equações das ondas que estamos trabalhando são:
Aqui, ambas as ondas têm a mesma amplitude (0,5 metros) e a mesma frequência angular (10π rad/s), mas elas se propagam em direções opostas devido aos sinais diferentes nas expressões.
Passo 4
Para encontrar a onda estacionária resultante, vamos somar as duas equações das ondas:
Passo 5
A gente pode usar a fórmula de soma de senos para simplificar isso. A fórmula é:
Aplicando isso às ondas:
Passo 6
Calculando
e
:
Passo 7
Substituindo na fórmula de soma de senos:
Simplificando:
Essa é a equação da onda estacionária resultante.
Passo 8
Agora, vamos encontrar onde se formam os nós e os ventres. Os nós são pontos onde a amplitude é sempre zero, e isso ocorre quando
.
Resolvendo
:
Onde
é um número inteiro (0, ±1, ±2, …).
Passo 9
Os ventres, por outro lado, são os pontos onde a amplitude é máxima, ou seja, quando
.
Isso acontece quando:
Novamente,
é um número inteiro.
Resposta
A onda estacionária resultante é
. Os nós se formam nas posições
metros e os ventres se formam nas posições
metros, onde
é um número inteiro.