Considere a superposição de duas ondas que se propagam de acordo com as equações: y1(x,t)= 0,5 sen(30piX + 10 pi t) y2(x,t) = 0,5 sen(30 piX - 10 pi t). Nas quais todas as unidades adotadas pertencem ao SI (metro, segundo etc.). Escreva a equação que descreve a onda estacionária resultante. Em que posições se formarão os nós? Em que posições se formarão os ventres?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre superposição de ondas, que faz parte da física de ondas. A gente vai precisar usar as equações das ondas dadas para encontrar a equação da onda estacionária resultante. Além disso, vamos descobrir onde se formam os nós e os ventres dessa onda estacionária.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma onda estacionária. Uma onda estacionária ocorre quando duas ondas de mesma frequência e amplitude se movem em direções opostas e se superpõem. Isso gera pontos fixos chamados nós, onde a amplitude é sempre zero, e ventres, onde a amplitude é máxima.

Passo 3

As equações das ondas que estamos trabalhando são:
y1(x,t) = 0,5 cdot sin(30pi x + 10pi t)
y2(x,t) = 0,5 cdot sin(30pi x - 10pi t)
Aqui, ambas as ondas têm a mesma amplitude (0,5 metros) e a mesma frequência angular (10π rad/s), mas elas se propagam em direções opostas devido aos sinais diferentes nas expressões.

Passo 4

Para encontrar a onda estacionária resultante, vamos somar as duas equações das ondas:
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) = 0,5 cdot sin(30pi x + 10pi t) + 0,5 cdot sin(30pi x - 10pi t)

Passo 5

A gente pode usar a fórmula de soma de senos para simplificar isso. A fórmula é:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cdot cos(A - B2)
Aplicando isso às ondas:
A = 30pi x + 10pi t
B = 30pi x - 10pi t

Passo 6

Calculando A + B2 e A - B2:
A + B2 = (30pi x + 10pi t) + (30pi x - 10pi t)2 = 60pi x2 = 30pi x
A - B2 = (30pi x + 10pi t) - (30pi x - 10pi t)2 = 20pi t2 = 10pi t

Passo 7

Substituindo na fórmula de soma de senos:
y(x,t) = 2 cdot 0,5 cdot sin(30pi x) cdot cos(10pi t)
Simplificando:
y(x,t) = sin(30pi x) cdot cos(10pi t)
Essa é a equação da onda estacionária resultante.

Passo 8

Agora, vamos encontrar onde se formam os nós e os ventres. Os nós são pontos onde a amplitude é sempre zero, e isso ocorre quando sin(30pi x) = 0.
Resolvendo sin(30pi x) = 0:
30pi x = npi Rightarrow x = n30
Onde n é um número inteiro (0, ±1, ±2, …).

Passo 9

Os ventres, por outro lado, são os pontos onde a amplitude é máxima, ou seja, quando |sin(30pi x)| = 1.
Isso acontece quando:
30pi x = pi2 + npi Rightarrow x = 160 + n30
Novamente, n é um número inteiro.

Resposta

A onda estacionária resultante é y(x,t) = sin(30pi x) cdot cos(10pi t). Os nós se formam nas posições x = n30 metros e os ventres se formam nas posições x = 160 + n30 metros, onde n é um número inteiro.

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