A esquiadora de 50 kg de massa, desce uma montanha de 30° de inclinação e tem, no momento da foto, energia cinética igual a 1000 J. Desprezando o atrito e a resistência do ar, o espaço percorrido por ela, desse ponto até aquele no qual sua energia cinética dobrou, será:
a) 4,0 m
b) 8,0 m
c) 40 m
d) 80 m
e) 800 m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esquiadora que pesa 50 kg descendo uma montanha com inclinação de 30°. No momento da foto, a energia cinética dela é de 1000 J. Queremos descobrir quanto espaço ela precisa percorrer para que sua energia cinética dobre, ou seja, aumente para 2000 J. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, além das relações trigonométricas em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ E_c $) é dada pela fórmula:
Ec
onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade.
Mas como a energia cinética vai aumentar, precisamos relacionar essa mudança com a energia potencial gravitacional ($ E_p $) que a esquiadora perde ao descer pela montanha. A energia potencial é dada por:
Ec = 12 m v^2
onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura.
Como a inclinação da montanha é de 30°, podemos relacionar a altura $ h $ com a distância percorrida $ s $ usando a relação trigonométrica:
m
onde $ \theta = 30° $.

Passo 3

Sabemos que a energia cinética inicial é de 1000 J, e queremos que ela dobre para 2000 J. A diferença de energia cinética ($ \Delta E_c $) que precisa ser obtida é:
De
Essa energia adicional vem da energia potencial perdida ao descer a montanha.

Passo 4

Igualando a diferença da energia cinética à energia potencial, temos:
De
Substituindo $ h $ pela expressão em termos de $ s $:
h
Sabemos que $ \sin(30°) = 0,5 $, então:
s

Passo 5

Vamos resolver para $ s $:
s
1000 = 50 cdot 9,8 cdot 0,5 cdot s
1000 = 50 cdot 4,9 cdot s
1000 = 245 cdot s
s = 1000245

Resposta

A esquiadora precisa percorrer aproximadamente 4,0 metros para que sua energia cinética dobre. Portanto, a alternativa correta é a letra a) 4,0 m.

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