Uma carga
está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio
. a) Fazendo
no infinito, mostre que o potencial a uma distância
do centro, onde
, é dado por
.
6) Uma casca esférica espessa de carga
e densidade volumétrica de carga
, está limitada pelos raios
e
, onde
. Com
0 no infinito determine o potencial elétrico
em função da distância
ao centro da distribuição, considerando as regiões a)
; b)
, (c)
, (d) Estas soluções concordam em
?
6) Uma casca esférica espessa de carga
Passo 1
No item (a) temos uma esfera sólida de raio
com carga total
distribuída uniformemente no volume e queremos o potencial
para
, tomando
. O método será usar a Lei de Gauss para achar
e depois integrar
No item (b) temos uma casca esférica de densidade volumétrica
, carregada entre
e
, com carga total
. Precisamos obter
em cada região
,
,
e verificar continuidade em
e
.
Passo 2
Item (a): Campo elétrico pela Lei de Gauss
– Para , a carga envolvida em uma esfera de raio
é
– Para
logo
– Para
, toda a carga
está envolvida,
Passo 3
Item (a): Integração para o potencial em
Calcule cada integral:
Portanto
Passo 4
Item (b): Campo elétrico em cada região pela Lei de Gauss
Definimos .
– (i) Para , carga envolvida
,
Definimos
– (i) Para
– (ii) Para
, carga envolvida
– (iii) Para
, não há carga interna,
Passo 5
Item (b): Potencial em
Passo 6
Item (b): Potencial em
Fazendo as integrais e usando
, obtém-se após simplificação
ou, de forma equivalente,
Passo 7
Item (b): Potencial em
Nesta região , logo
Nesta região
isto é, basta tomar a expressão de
em
e substituir
.
Passo 8
Item (b): Continuidade em
e
É imediato verificar que as fórmulas de para as regiões adjacentes coincidem nos pontos
e
, garantindo potencial contínuo nessas superfícies.
É imediato verificar que as fórmulas de
Resposta
(a) Para
:
(b) Definindo
:
Estas expressões coincidem nos pontos
e
, garantindo a continuidade de
.]