Uma carga q está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio R. a) Fazendo V=0 no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde r<\mathrm{R}, é dado por V=q\left(3 R^{2}-\mathrm{r}^{2}\right) / 8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}.
6) Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade volumétrica de carga \rho, está limitada pelos raios r_{1} e r_{2}, onde r_{2}>r_{1}. Com V= 0 no infinito determine o potencial elétrico V em função da distância r ao centro da distribuição, considerando as regiões a) r>r_{2}; b) r_{1}<r<r_{2}, (c) r<r_{1}, (d) Estas soluções concordam em r=r_{2}, r=r_{1} ?

Passo 1

No item (a) temos uma esfera sólida de raio R com carga total q distribuída uniformemente no volume e queremos o potencial V(r) para r<R, tomando V(\infty)=0. O método será usar a Lei de Gauss para achar \mathbf{E}(r) e depois integrar
V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr'\,.
No item (b) temos uma casca esférica de densidade volumétrica \rho, carregada entre r_1 e r_2, com carga total Q. Precisamos obter V(r) em cada região r>r_2, r_1<r<r_2, r<r_1 e verificar continuidade em r=r_2 e r=r_1.

Passo 2

Item (a): Campo elétrico pela Lei de Gauss
– Para r<R, a carga envolvida em uma esfera de raio r é
q_{\rm int} = q\;\frac{\tfrac{4\pi r^3}{3}}{\tfrac{4\pi R^3}{3}} = q\,\frac{r^3}{R^3}\,,
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E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_{\rm int}}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,r^3/R^3}{r^2} =\frac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0\,R^3}\,.
– Para r>R, toda a carga q está envolvida,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,.

Passo 3

Item (a): Integração para o potencial em r<R
V(r) =-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr' =-\Bigl[\int_{\infty}^{R}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r'^2}dr' +\int_{R}^{r}\frac{q\,r'}{4\pi\varepsilon_0\,R^3}dr'\Bigr].
Calcule cada integral:
\int_{\infty}^{R}\frac{dr'}{r'^2} =\Bigl[-\frac1{r'}\Bigr]_{\infty}^{R} =\frac1R, \qquad \int_{R}^{r}r'\,dr' =\frac{r^2-R^2}{2}.
Portanto
V(r) =-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac1R \;-\;\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,R^3}\,\frac{r^2-R^2}{2} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,R^3}\Bigl(\frac{3R^2-r^2}{2}\Bigr) =\frac{q\,(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0\,R^3}.

Passo 4

Item (b): Campo elétrico em cada região pela Lei de Gauss
Definimos \rho=Q/\bigl(\tfrac{4\pi}{3}(r_2^3-r_1^3)\bigr).
– (i) Para r>r_2, carga envolvida =Q,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
– (ii) Para r_1<r<r_2, carga envolvida
q_{\rm int}(r) =\rho\;\frac{4\pi}{3}\bigl(r^3-r_1^3\bigr) \;\Longrightarrow\; E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho\,\tfrac{4\pi}{3}(r^3-r_1^3)}{r^2} =\frac{\rho\,(r^3-r_1^3)}{3\varepsilon_0\,r^2}.
– (iii) Para r<r_1, não há carga interna,
E(r)=0.

Passo 5

Item (b): Potencial em r>r_2
V(r) =-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r'^2}dr' =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 6

Item (b): Potencial em r_1<r<r_2
V(r) =-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr' =-\Bigl[\int_{\infty}^{r_2}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r'^2}dr' +\int_{r_2}^{r}\frac{\rho\,(r'^3-r_1^3)}{3\varepsilon_0\,r'^2}dr'\Bigr].
Fazendo as integrais e usando \rho=3Q/(4\pi(r_2^3-r_1^3)), obtém-se após simplificação
V(r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl[ -\frac1{r_2} \;-\;\frac{1}{r_2^3-r_1^3}\Bigl(\frac{r^2-r_2^2}{2}+r_1^3\bigl(\tfrac1r-\tfrac1{r_2}\bigr)\Bigr) \Biggr]
ou, de forma equivalente,
V(r) =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0\,(r_2^3-r_1^3)}\Bigl[3r_2^2-r^2-2\,\frac{r_1^3}{r}\Bigr].

Passo 7

Item (b): Potencial em r<r_1
Nesta região E=0, logo
V(r)=V(r_1),
isto é, basta tomar a expressão de V(r) em r_1<r<r_2 e substituir r=r_1.

Passo 8

Item (b): Continuidade em r=r_2 e r=r_1
É imediato verificar que as fórmulas de V(r) para as regiões adjacentes coincidem nos pontos r_2 e r_1, garantindo potencial contínuo nessas superfícies.

Resposta

(a) Para r<R:
V(r)=\frac{q\,(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0\,R^3}.
(b) Definindo \rho=Q/\bigl(\tfrac{4\pi}{3}(r_2^3-r_1^3)\bigr):
\begin{aligned} &\text{(i) }r>r_2:\quad &&V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r},\\[6pt] &\text{(ii) }r_1<r<r_2:\quad &&V(r) =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0\,(r_2^3-r_1^3)}\Bigl[3r_2^2-r^2-2\,\frac{r_1^3}{r}\Bigr],\\[6pt] &\text{(iii) }r<r_1:\quad &&V(r)=V(r_1) =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0\,(r_2^3-r_1^3)}\Bigl[3r_2^2-r_1^2-2\,\frac{r_1^3}{r_1}\Bigr]. \end{aligned}
Estas expressões coincidem nos pontos r=r_2 e r=r_1, garantindo a continuidade de V.]

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