Uma carga q está uniformemente distribuída em um semi-disco de raio R. Qual a expressão do campo elétrico no centro do semi-disco?

Passo 1

Então, o problema diz que temos uma carga total distribuída uniformemente sobre a área de um semi-disco de raio . A pergunta é: qual é o campo elétrico no centro desse semi-disco?
Conteúdo: eletrostática de distribuições contínuas.
O que vamos precisar:
  1. Lei de Coulomb para distribuição contínua,
  2. densidade de carga superficial ,
  3. integração em coordenadas polares,
  4. decomposição de componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade de carga superficial sigma = qárea do semi-disco = qtfrac12pi R^2 = 2qpi R^2 . Como a carga total está uniformemente espalhada sobre a área do semi-disco, temos
á

Passo 3

Cada pedacinho de área dQ = sigma,dA = sigma,r,dr,dtheta em coordenadas polares é dE = 14piepsilon0,dQr^2 .
A carga elementar é
dEy = dE;sintheta = 14piepsilon0,sigma,r,dr,dthetar^2,sintheta = sigma4piepsilon0,dr,dthetar,sintheta
A contribuição de campo elétrico em módulo, pelo elemento a distância do centro, é
Como a figura é simétrica em torno do eixo vertical (e o disco está acima do eixo ), as componentes horizontais se cancelam e só sobra a componente vertical. Se é o ângulo medido a partir do eixo , a componente vertical é

Passo 4

Agora integramos Ey = integral0^pi!integral0^R sigma4piepsilon0,sinthetar,dr,dtheta = sigma4piepsilon0 l(integral0^pi sintheta,dthetar) l(integral0^R drrr) de 0 a e de 0 a :
A parte em
.
Mas a integral em é

Resposta

O campo elétrico no centro do semi-disco diverge:
boxedE = +infty
Ou seja, o campo é infinito, pois há carga arbitrariamente perto do ponto onde estamos calculando.

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