Numa linha de produção de um material plástico observou-se que havia um campo elétrico que podia ser expresso assim: E=alpha x^2 x, onde alpha é uma constante e x uma coordenada conveniente medida em metros. Mostre que isso acarreta no material plástico uma densidade
volumétrica de carga. Para isso, considere um pedaço do plástico na forma de um cubo de aresta L com duas de suas faces perpendiculares à direção x, sendo uma em x=0 e a outra em x=L. Resp.: rho=alpha L epsilon0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que num pedaço de plástico em forma de cubo (aresta ), a gente tem um campo elétrico
.
A ideia é descobrir que densidade volumétrica de carga esse campo gera dentro do cubo.
Conteúdo: eletrostática – mais precisamente a Lei de Gauss na forma integral, junto com noções de fluxo e definição de densidade de carga .

Passo 2

Lei de Gauss (integral) diz:
ointpartial V vec Ecdot dvec A ;=;Qrm intvarepsilon0,,
onde o integral é sobre a superfície fechada que envolve o volume . A gente vai usar isso pra achar dentro do cubo.

Passo 3

No cubo de aresta , só as duas faces perpendiculares a contribuem com fluxo:
  • Face em , normal
  • Face em , normal
    As outras faces têm paralelo à superfície ( ), então o fluxo delas é zero.

Passo 4

Calculando o fluxo Phi = Ex(L),A = (alpha L^2),(L^2) = alpha L^4 :
  • Na face : , então fluxo é .
  • Na face : , área , normal é .

Passo 5

Pela Lei de Gauss:
Qrm int = varepsilon0,Phi = varepsilon0,(alpha L^4)

Passo 6

Densidade volumétrica de carga média rho = Qrm intV = varepsilon0,alpha L^4L^3 = varepsilon0,alpha,L é a carga total dividida pelo volume do cubo :

Resposta

.

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