Considere um fio retilíneo de comprimento
e carregado com densidade linear
. Determine o vetor campo elétrico a uma distância
na perpendicular ao fio e em uma de suas extremidades. Em particular, qual o ângulo que esse campo faz com a direção do fio?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um fio reto de comprimento L e densidade linear de carga λ. Queremos achar o campo elétrico num ponto P que fica a uma distância r da extremidade do fio, medindo perpendicularmente ao fio. Além disso, queremos saber qual o ângulo θ que esse campo faz em relação à direção do fio.
Matéria envolvida: eletrostática – campo de uma distribuição contínua de carga.
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: eletrostática – campo de uma distribuição contínua de carga.
O que vamos precisar:
- Lei de Coulomb para um elemento de carga:
2) decompor esse vetor em componentes x e y,
3) integrar de 0 a L.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas: o fio fica sobre o eixo x de x=0 até x=L, e o ponto P está em (0,r) no eixo y. Cada pedacinho do fio, em x, tem carga infinitesimal
e a distância dele até P é
Passo 3
Pela Lei de Coulomb, o vetor campo vindo desse dq é
onde \hat R aponta de (x,0) para (0,r). Em componentes:
- a componente horizontal (x) vale
o sinal “–” aparece porque P está à esquerda dos elementos (x>0).
- a componente vertical (y) vale
Passo 4
Agora integramos de x=0 até x=L:
Para Ex:
Para Ex:
Reconhecemos que
Logo
$$
E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big[,-\frac{1}{\sqrt{x^2 + r2}}\Big]_0L
= -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{L^2 + r^2}}\Big).
= -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{L^2 + r^2}}\Big).
$$
Para Ey:
Sabemos que
então
$$
E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0};r;\Big[\frac{x}{r2\sqrt{x2 + r2}}\Big]_0L
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r,\sqrt{L^2 + r^2}},r
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r\sqrt{L^2 + r^2}};.
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r,\sqrt{L^2 + r^2}},r
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r\sqrt{L^2 + r^2}};.
$$
Passo 5
Resumindo as componentes:
Passo 6
O ângulo θ (medido a partir da direção do fio, que é o eixo x) satisfaz
Resposta
Campo elétrico no ponto P (em formato vetorial):
Ângulo θ que esse campo faz com o fio (eixo x):