Considere um fio retilíneo de comprimento L e carregado com densidade linear lambda. Determine o vetor campo elétrico a uma distância r na perpendicular ao fio e em uma de suas extremidades. Em particular, qual o ângulo que esse campo faz com a direção do fio?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um fio reto de comprimento L e densidade linear de carga λ. Queremos achar o campo elétrico num ponto P que fica a uma distância r da extremidade do fio, medindo perpendicularmente ao fio. Além disso, queremos saber qual o ângulo θ que esse campo faz em relação à direção do fio.
Matéria envolvida: eletrostática – campo de uma distribuição contínua de carga.
O que vamos precisar:
  1. Lei de Coulomb para um elemento de carga: dvec E = 14pivarepsilon0,dqR^2,hat u,,
    2) decompor esse vetor em componentes x e y,
    3) integrar de 0 a L.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas: o fio fica sobre o eixo x de x=0 até x=L, e o ponto P está em (0,r) no eixo y. Cada pedacinho do fio, em x, tem carga infinitesimal
dq = lambda,dx
e a distância dele até P é
R = raizx^2 + r^2,

Passo 3

Pela Lei de Coulomb, o vetor campo vindo desse dq é
dvec E = 14pivarepsilon0,lambda,dx(x^2 + r^2),hat R,,
onde \hat R aponta de (x,0) para (0,r). Em componentes:
- a componente horizontal (x) vale
dEx = dEcosvarphi = 14pivarepsilon0,lambda,dxx^2 + r^2,-xraizx^2 + r^2,,
o sinal “–” aparece porque P está à esquerda dos elementos (x>0).
  • a componente vertical (y) vale dEy = dEsinvarphi = 14pivarepsilon0,lambda,dxx^2 + r^2,rraizx^2 + r^2,

Passo 4

Agora integramos de x=0 até x=L:
Para Ex:
Ex = integral0^L dEx = -lambda4pivarepsilon0integral0^L x,dx(x^2 + r^2)^3/2,
Reconhecemos que
ddx[,(x^2 + r^2)^-1/2] = -,x(x^2 + r^2)^3/2,
Logo
$$
E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big[,-\frac{1}{\sqrt{x^2 + r2}}\Big]_0L
= -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{L^2 + r^2}}\Big).
$$
Para Ey:
Ex = -lambda4pivarepsilon0[,-1raizx^2 + r^2]0^L = -lambda4pivarepsilon0(1r - 1raizL^2 + r^2)
Sabemos que
Ey = lambda4pivarepsilon0integral0^L r,dx(x^2 + r^2)^3/2
então
$$
E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0};r;\Big[\frac{x}{r2\sqrt{x2 + r2}}\Big]_0L
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r,\sqrt{L^2 + r^2}},r
= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{L}{r\sqrt{L^2 + r^2}};.
$$

Passo 5

Resumindo as componentes:
Ex = -lambda4pivarepsilon0(1r - 1raizL^2 + r^2), Ey = lambda4pivarepsilon0,LrraizL^2 + r^2

Passo 6

O ângulo θ (medido a partir da direção do fio, que é o eixo x) satisfaz
tantheta = Ey|Ex| = dfracLrraizL^2 + r^2 dfrac1r - dfrac1raizL^2 + r^2 = LraizL^2 + r^2 - r,

Resposta

Campo elétrico no ponto P (em formato vetorial):
boxed vec E = -lambda4pivarepsilon0(1r - 1raizL^2 + r^2),hat x ;+; lambda4pivarepsilon0,LrraizL^2 + r^2;hat y
Ângulo θ que esse campo faz com o fio (eixo x):
boxed theta = arctan!(LraizL^2 + r^2-r)

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