Uma carga
está uniformemente distribuída sobre uma barra de comprimento
e espessura desprezível. Determine a força que a barra exerce sobre uma carga pontual
localizada ao longo do eixo geométrico da barra a uma distância
de uma das suas extremidades.
Resposta:
, paralela à barra.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma barra de comprimento
com carga
distribuída de forma uniforme ao longo dela. E tem uma carga pontual
que está localizada em uma distância
de uma das extremidades da barra, alinhada com o eixo da barra. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Coulomb e um pouco de cálculo para integrar forças ao longo da barra. Vamos precisar entender como distribuir a carga uniforme e calcular a força total exercida sobre a carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na carga distribuída. Como a carga
está espalhada uniformemente ao longo do comprimento
da barra, a densidade linear de carga, que é a carga por unidade de comprimento, é dada por:
Isso significa que em cada pedacinho da barra, a quantidade de carga é proporcional ao tamanho desse pedacinho.
Passo 3
Agora, vamos considerar um pequeno elemento da barra com comprimento
. A carga nesse pedacinho é então:
A força exercida por esse pedacinho de carga
sobre a carga pontual
pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
onde
é a constante de Coulomb e
é a distância entre
e
.
Passo 4
Vamos determinar a distância
em termos de
, onde
mede a posição ao longo da barra a partir da extremidade mais próxima à carga
. A distância total entre
e
é
. Então:
Como todos os elementos de força estão na mesma direção (paralela à barra), podemos simplesmente somar todas elas integrando de
a
.
Passo 5
Vamos integrar a expressão de
para encontrar a força total
:
A integral de
é
, então:
Simplificando: