Uma carga resistiva absorve 200 W quando conectada a uma fonte CA de 120 V rms em 60 Hz . Projete um circuito que resultará em 200 W absorvidos pela mesma resistência quando a fonte é de 240 V rms em 60 Hz . Qual é a tensão de pico na carga em cada caso?

Passo 1

O enunciado trata de uma carga puramente resistiva que absorve 200 W quando ligada a uma fonte senoidal de 120 V rms em 60 Hz. Precisamos:
  1. determinar o valor da resistência,
  2. calcular a tensão de pico na carga nesse caso,
  3. projetar um circuito para que, com a mesma resistência e uma fonte de 240 V rms em 60 Hz, a potência seja novamente 200 W, e
  4. calcular a tensão de pico na carga nessa segunda situação.

Passo 2

Da definição de potência em carga resistiva:
P = \frac{V_{\text{rms}}^{2}}{R}
Logo,
R = \frac{V_{\text{rms}}^{2}}{P} = \frac{(120)^{2}}{200} = 72 \,\Omega.

Passo 3

Na primeira situação, com V_{\text{rms}}=120 V, a tensão de pico na carga é
V_{\text{pk}} = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}} = \sqrt{2}\times120 \approx 170\text{ V}.

Passo 4

Para a fonte de 240 V rms, se colocarmos apenas a resistência R=72\\ \Omega, a potência seria quatro vezes maior. Para manter 200 W, precisamos que a tensão eficaz sobre R continue 120 V. Isso se faz inserindo em série um elemento reativo de reatância X, de modo que, no divisor de tensão,
\frac{V_{R}}{V_{s}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2}+X^{2}}} = \frac{120}{240} = \tfrac12.
Daí
\sqrt{R^{2}+X^{2}} = 2R \quad\Longrightarrow\quad X^{2} = (2R)^{2}-R^{2} = 3R^{2} \quad\Longrightarrow\quad X = \sqrt{3}\,R \approx 1{,}732\times72 \approx 124{,}7\\ \Omega.

Passo 5

Podemos escolher esse X como reatância indutiva X_{L}=124{,}7\\ \Omega. Em 60 Hz,
X_{L} = 2\pi f L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{X_{L}}{2\pi f} = \frac{124{,}7}{2\pi\cdot60} \approx 0{,}331\\ \text{H}.
O circuito então é a resistência 72\\ \Omega em série com um indutor de L\approx0{,}331 H, ligados à fonte de 240 V rms.

Passo 6

Com esse arranjo, a tensão eficaz sobre R volta a ser 120 V, logo a tensão de pico na carga permanece
V_{\text{pk}} = \sqrt{2}\times120 \approx 170\text{ V}.

Resposta

Proponha em série com R=72\\ \Omega um indutor de L\approx0,331 H (reatância X_{L}\approx124,7\\ \Omega a 60 Hz).
Tensão de pico na carga:
primeiro caso ( 120 V rms) \to V_{\text{pk}}\approx170 V,
segundo caso ( 240 V rms com indutor) \to V_{\text{pk}}\approx170 V.

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