Para o retificador de meia onda controlado com carga resistiva, a fonte de 120 Vrms e 60 Hz . A resistência é de 100 \Omega e o ângulo de atraso é de 45^{\circ}.
Determine:
(a) tensão média no resistor,
(b) potência absorvida pelo resistor,
(d) o fator de potência.

Passo 1

O enunciado trata de um retificador de meia onda controlado por tiristor com carga puramente resistiva. A fonte senoidal tem tensão eficaz de 120 \mathrm{V} a 60 \mathrm{Hz}, a resistência da carga é R=100 \mathrm{\Omega} e o ângulo de atraso do disparo do tiristor é \alpha=45^\circ. Precisamos determinar
a) a tensão média no resistor,
b) a potência absorvida pelo resistor,
c) o fator de potência do circuito.

Passo 2

Vamos primeiro achar a amplitude da tensão de pico da fonte. Sabendo que para uma senóide
V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}},
temos
V_m = V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2} = 120\sqrt{2}\approx169{,}7\\ \mathrm{V}.

Passo 3

A tensão média de saída num período T vale
V_{dc} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}v_o(t)\,dt
e, no retificador de meia onda controlado, v_o(t)=V_m\sin\theta apenas de \theta=\alpha até \theta=\pi, sendo zero no restante do período 0\le\theta<\alpha e \pi<\theta<2\pi. Como T=2\pi/\omega, fica
V_{dc} = \frac{\omega}{2\pi}\int_{\alpha}^{\pi}V_m\sin\theta\,\frac{d\theta}{\omega} = \frac{V_m}{2\pi}\int_{\alpha}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \frac{V_m}{2\pi}\bigl[1+\cos\alpha\bigr].
Substituindo V_m=169{,}7 \mathrm{V} e \alpha=45^\circ ( \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}7071),
V_{dc}=\frac{169{,}7}{2\pi}\bigl(1+0{,}7071\bigr) \approx\frac{169{,}7\times1{,}7071}{6{,}2832} \approx46{,}1\\ \mathrm{V}.

Passo 4

A potência média absorvida pelo resistor é
P = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{v_o^2(t)}{R}\,dt = \frac{1}{2\pi R}\int_{\alpha}^{\pi}V_m^2\sin^2\theta\,d\theta.
Usando \int\sin^2\theta\,d\theta = \tfrac{\theta}{2}-\tfrac{\sin2\theta}{4}, obtemos
\int_{\alpha}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \frac{\pi-\alpha}{2}+\frac{\sin2\alpha}{4}.
Logo
P = \frac{V_m^2}{2\pi R}\Bigl(\frac{\pi-\alpha}{2}+\frac{\sin2\alpha}{4}\Bigr) = \frac{V_m^2}{4\pi R}\Bigl[\bigl(\pi-\alpha\bigr)+\tfrac{\sin2\alpha}{2}\Bigr].
Numericamente, com V_m^2=(169{,}7)^2\approx2{,}88\times10^4 \mathrm{V}^2, \alpha=\tfrac{\pi}{4}, \sin2\alpha=1 e R=100 \mathrm{\Omega},
P \approx \frac{2{,}88\times10^4}{4\pi\times100}\bigl[(\pi-\tfrac{\pi}{4})+\tfrac12\bigr] \approx65{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Para o fator de potência precisamos da corrente eficaz I_{\mathrm{rms}} e da potência aparente S=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}. Temos
I_{\mathrm{rms}}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2(t)\,dt = \frac{1}{2\pi R^2}\int_{\alpha}^{\pi}V_m^2\sin^2\theta\,d\theta
que é o mesmo integral do passo anterior, somente dividido por R^2. Assim
I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{V_m^2}{4\pi R^2}\Bigl[(\pi-\alpha)+\tfrac{\sin2\alpha}{2}\Bigr]} \approx0{,}809\\ \mathrm{A}.
Portanto a potência aparente é
S = V_{\mathrm{rms}}\,I_{\mathrm{rms}} = 120\times0{,}809\approx97{,}1\\ \mathrm{VA}
e o fator de potência
\mathrm{PF} = \frac{P}{S} \approx\frac{65{,}5}{97{,}1}\approx0{,}675.

Resposta

a) V_{dc}\approx46{,}1\\ \mathrm{V}.
b) P\approx65{,}5\\ \mathrm{W}.
d) \mathrm{PF}\approx0{,}675.

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