Dada a função horária da elongação:
x=3 \cdot \cos \left(5 \pi \cdot t+\frac{\pi}{4}\right)
Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI responda:
Qual a pulsação do movimento?

Passo 1

O enunciado dá a função horária da elongação
x = 3 \cdot \cos\left(5\pi \cdot t + \frac{\pi}{4}\right),
informa que todas as unidades estão no SI e pergunta: qual a pulsação do movimento?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é x(t)=3\cos\!\big(5\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big).
  • A unidade de tempo t é o segundo ( \text{s}).
  • A pergunta pede a pulsação (ou frequência angular) do movimento.

Passo 2

Vamos entender o que é “pulsação” e como identificá-la numa expressão trigonométrica. A forma padrão de um movimento harmônico simples é
x(t) = A \cos\big(\omega t + \varphi\big),
onde:
  • A é a amplitude (a máxima elongação), medida em metros ( \text{m});
  • \omega é a pulsação (ou frequência angular), medida em radianos por segundo ( \text{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial, em radianos;
  • t é o tempo, em segundos ( \text{s}).
    A ideia prática: na expressão do cosseno, o coeficiente que multiplica t é exatamente a pulsação \omega.

Passo 3

Por que o coeficiente de t é a pulsação? Raciocínio didático:
  • O argumento do cosseno deve ser adimensional, isto é, um ângulo em radianos.
  • Esse argumento tem a forma \omega t + \varphi. Quando t aumenta de 1 segundo, o argumento aumenta de \omega radianos — então \omega mede quantos radianos o ângulo do movimento varia por segundo.
  • Logo, \omega tem unidade \text{rad/s} e é chamado de pulsação (ou frequência angular).

Passo 4

Compare a forma padrão com a função dada. Na função
x(t)=3\cos\!\big(5\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big),
o coeficiente que multiplica t dentro do cosseno é 5\pi. Pelas observações anteriores, esse coeficiente corresponde à pulsação \omega.

Passo 5

Para reforçar: a pulsação tem unidade de radianos por segundo. Podemos também relacioná-la com o período T e a frequência cíclica f pelas fórmulas
T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},
caso queira calcular período ou frequência a partir da pulsação.

Passo 6

Se for útil ter um valor numérico aproximado, calcule 5\pi. Sabendo que \pi\approx 3,14159265, temos 5\pi\approx 15,707963, que arredondamos para três casas decimais como 15,708. A unidade continua sendo \text{rad/s}.

Resposta

\omega = 5\pi\\ \text{rad/s} \approx 15,708\\ \text{rad/s}

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