Qual é a carga de tração necessária para produzir um alongamento total de 52,7 \mathrm{~mm}(2,07 \mathrm{in}) após 1.150 horas a 650^{\circ} \mathrm{C}\left(1200^{\circ} \mathrm{F}\right) para um corpo de provas cilíndrico da liga S-590, originalmente com 14,5 \mathrm{~mm}(0,57 \mathrm{in}) de diâmetro e 400 \mathrm{mm}(15,7 \mathrm{in}) de comprimento? Assuma que a soma dos alongamentos instantâneo e da fluência primária seja de 4,3 \mathrm{~mm}(0,17 \mathrm{in}).

Passo 1

O enunciado pede a carga de tração necessária para que, sob aquecimento a 650^{\circ}\mathrm{C} por 1\,150 horas, um corpo de prova cilíndrico da liga S-590 se alongue um total de 52,7\\ \mathrm{mm}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\Delta L_{\text{total}} = 52,7\\ \mathrm{mm},\\\ &L_0 = 400\\ \mathrm{mm},\\\ &d = 14,5\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{soma do alongamento instantâneo e da fluência primária} = 4,3\\ \mathrm{mm},\\\ &t = 1\,150\\ \mathrm{h},\\\ &T = 650^{\circ}\mathrm{C}.
O que se pede: a carga de tração F (força axial) aplicável ao corpo de prova que causa esse alongamento total após o tempo indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever relações básicas que conectam força, tensão e área, e alongamentos com deformações, porque é assim que normalmente se chega na força pedida:
  • A tensão média axial é \sigma = \dfrac{F}{A}, onde A é a área da seção transversal do cilindro.
  • Para uma secção circular de diâmetro d temos
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
  • A deformação (engenharia) longitudinal é \varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}.
    Logo, se soubermos a tensão \sigma correspondente ao carregamento colocado durante o tempo, a carga requerida será
F = \sigma A.
Essas são as fórmulas que vamos usar assim que tivermos \sigma.

Passo 3

Calculemos as quantidades geométricas e as deformações dadas (apenas manipulações aritméticas e definicionais):
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (14,5\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}\approx 165{,}03\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Deformações a partir dos alongamentos:
\varepsilon_{\text{total}}=\frac{\Delta L_{\text{total}}}{L_0}=\frac{52{,}7}{400}=0{,}13175\quad(\approx 13{,}175\%).
\varepsilon_{\text{inst+prim}}=\frac{4{,}3}{400}=0{,}01075\quad(\approx 1{,}075\%).
\varepsilon_{\text{sec}}=\varepsilon_{\text{total}}-\varepsilon_{\text{inst+prim}}=\frac{48{,}4}{400}=0{,}121\quad(\approx 12{,}1\%).
Observação: \varepsilon_{\text{sec}} é a deformação devido à fluência em regime estacionário (fluência secundária) assumida como a diferença entre total e a soma instantâneo+primário.

Passo 4

Agora, como relacionar \varepsilon_{\text{sec}} com a tensão \sigma? Aqui entra a física da fluência: para muitos materiais, em regime de fluência secundária a taxa de deformação por fluência (deformação por tempo) pode ser aproximada por uma lei tipo Norton (lei da potência):
\dot{\varepsilon}_{c}=A_{\text{creep}}\; \sigma^{n},
onde
  • \dot{\varepsilon}_{c} é a taxa de fluência estacionária (unidade \mathrm{h}^{-1} ou \mathrm{s}^{-1}),
  • A_{\text{creep}} é uma constante dependente da temperatura e do material (e às vezes contém fator exponencial de temperatura),
  • n é o expoente de fluência (constante empírica).
    Se a fluência secundária for aproximadamente constante no tempo t, a deformação por fluência secundária é
\varepsilon_{\text{sec}} \approx \dot{\varepsilon}_{c}\, t = A_{\text{creep}}\; \sigma^{n}\, t.
Dessa expressão isolamos a tensão:
\sigma = \left(\frac{\varepsilon_{\text{sec}}}{A_{\text{creep}}\, t}\right)^{1/n}.
E finalmente a força requerida é
F = \sigma A = A\left(\frac{\varepsilon_{\text{sec}}}{A_{\text{creep}}\, t}\right)^{1/n}.

Passo 5

Importante — o ponto crítico: para aplicar a fórmula do passo anterior precisamos conhecer os parâmetros de fluência do material na temperatura dada:
  • ou A_{\text{creep}} e n (constantes da lei de Norton) no regime de 650^{\circ}\mathrm{C},
  • ou tabelas/curvas experimentais que dão \dot{\varepsilon}_{c} em função de \sigma a 650^{\circ}\mathrm{C},
  • ou uma curva \varepsilon(t) para essa temperatura e nível de tensão, de onde se extraem \dot{\varepsilon}_{c} ou \varepsilon_{\text{sec}} diretamente para cada tensão.
    Sem esses dados empíricos (os parâmetros de fluência), a relação entre \varepsilon_{\text{sec}} e \sigma não é conhecida e, portanto, não há como determinar numericamente F.

Passo 6

Resumo prático do procedimento que você deve aplicar tão logo tenha os dados da liga S-590 a 650^{\circ}\mathrm{C}:
  1. Calcule A e \varepsilon_{\text{sec}} (feito no Passo 3). Aqui:
A\approx 165{,}03\\ \mathrm{mm}^{2},\qquad \varepsilon_{\text{sec}}=0{,}121,\qquad t=1\,150\\ \mathrm{h}.
  1. Obtenha A_{\text{creep}} e n (ou uma curva \dot{\varepsilon}_{c}(\sigma)) para S-590 a 650^{\circ}\mathrm{C}.
  2. Use
\sigma = \left(\dfrac{\varepsilon_{\text{sec}}}{A_{\text{creep}}\, t}\right)^{1/n}
e então
F=\sigma A.
  1. Se o dado experimental for \dot{\varepsilon}_{c} diretamente como função de \sigma, encontre a \sigma tal que \dot{\varepsilon}_{c}(\sigma)=\varepsilon_{\text{sec}}/t e então calcule F=\sigma A.

Passo 7

Conclusão e pedido de dados necessários: o enunciado não fornece os parâmetros de fluência (nem A_{\text{creep}} e n, nem uma curva \dot{\varepsilon}_{c}(\sigma) ou tabela experimental para S-590 a 650^{\circ}\mathrm{C}). Sem esses dados empíricos não é possível calcular numericamente a tensão \sigma nem a carga F. Portanto, para obter a resposta numérica você precisa fornecer (ou consultar) um dos seguintes:
  • constantes de fluência A_{\text{creep}} e n para S-590 a 650^{\circ}\mathrm{C}; ou
  • uma curva/tabela experimental de \dot{\varepsilon}_{c} versus \sigma a 650^{\circ}\mathrm{C}; ou
  • uma relação direta \varepsilon_{\text{sec}} versus \sigma para t=1\,150\\ \mathrm{h} a 650^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a carga F com os dados fornecidos; faltam os parâmetros de fluência da liga S-590 a 650^{\circ}\mathrm{C} (por exemplo A_{\text{creep}} e n da lei de Norton, ou uma curva \dot{\varepsilon}_{c}(\sigma)).

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