Uma carga em triângulo, com: Z_{A B}=24+j 25(\Omega), Z_{B C}=18-j 30(\Omega) e Z_{C A}=30 (\Omega), está ligada a um sistema CBA trifásico de 380 yolts-eficazes de linha.
Determine:
a) As correntes de fáse;
b) As correntes de linha;
c) As potências ativa, reativa e aparente da carga trifásica;

Passo 1

O enunciado descreve uma carga em triângulo (Δ) conectada a um sistema trifásico de sequência C-B-A com tensão de linha de 380,V. As impedâncias de cada fase da Δ são
Z_{AB}=24+j\,25\;\Omega,\quad Z_{BC}=18 - j\,30\;\Omega,\quad Z_{CA}=30\;\Omega.
Queremos calcular
a) as correntes de fase (ramo Δ),
b) as correntes de linha,
c) as potências ativa P, reativa Q e aparente S totais.
Para isso usaremos:
  • A relação I_{fase} = V_{fase}/Z_{fase}, lembrando que em Δ cada fase “vê” a tensão de linha.
  • As correntes de linha em Δ são diferenças das correntes de fase:
    \displaystyle I_a = I_{AB} - I_{CA},
    \displaystyle I_b = I_{BC} - I_{AB},
    \displaystyle I_c = I_{CA} - I_{BC}.
  • A potência trifásica total é
    \displaystyle S = \sum V_{fase}\,\overline{I_{fase}},
    com P=\Re\{S\} e Q=\Im\{S\}.

Passo 2

Definimos as tensões de linha (sequência C-B-A):
V_{AB} = 380\angle 0^\circ\text{ V},\quad V_{BC} = 380\angle +120^\circ\text{ V},\quad V_{CA} = 380\angle -120^\circ\text{ V}.
Calculamos então as correntes de fase:
I_{AB} = \frac{V_{AB}}{Z_{AB}} = \frac{380\angle 0^\circ}{24 + j\,25} = \frac{380}{\sqrt{24^2+25^2}}\;\angle\bigl(0^\circ - \arctan\!\tfrac{25}{24}\bigr) =10{,}97\angle -46{,}34^\circ\text{ A},
I_{BC} = \frac{V_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{380\angle 120^\circ}{18 - j\,30} = \frac{380}{\sqrt{18^2+(-30)^2}}\;\angle\bigl(120^\circ - \arctan\!\tfrac{-30}{18}\bigr) =11{,}46\angle 179{,}04^\circ\text{ A},
I_{CA} = \frac{V_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{380\angle -120^\circ}{30} =12{,}67\angle -120^\circ\text{ A}.

Passo 3

Passo a passo em forma retangular para depois obter magnitudes e ângulos das correntes de linha.
Convertemos
I_{AB}=10{,}97(\cos -46{,}34^\circ+j\sin -46{,}34^\circ)=7{,}59 - j\,7{,}91,
I_{BC}=11{,}46(\cos 179{,}04^\circ+j\sin 179{,}04^\circ)=-11{,}45 + j\,0{,}40,
I_{CA}=12{,}67(\cos -120^\circ+j\sin -120^\circ)=-6{,}34 - j\,10{,}97.

Passo 4

Calculamos as correntes de linha em Δ:
I_a = I_{AB} - I_{CA} = (7{,}59 - j\,7{,}91) - (-6{,}34 - j\,10{,}97) =13{,}93 + j\,3{,}06 \;\Longrightarrow\;14{,}25\angle 12{,}38^\circ\text{ A},
I_b = I_{BC} - I_{AB} = (-11{,}45 + j\,0{,}40) - (7{,}59 - j\,7{,}91) =-19{,}04 + j\,8{,}31 \;\Longrightarrow\;20{,}77\angle 156{,}44^\circ\text{ A},
I_c = I_{CA} - I_{BC} = (-6{,}34 - j\,10{,}97) - (-11{,}45 + j\,0{,}40) =5{,}11 - j\,11{,}37 \;\Longrightarrow\;12{,}47\angle -65{,}07^\circ\text{ A}.
Confirma-se que I_a+I_b+I_c\approx0.

Passo 5

Agora a potência de cada fase:
S_{AB} = V_{AB}\,\overline{I_{AB}} =380\angle0^\circ\;\cdot\;10{,}97\angle+46{,}34^\circ =4170\angle46{,}34^\circ\text{ VA}, P_{AB}=4170\cos46{,}34^\circ=2885 W, Q_{AB}=4170\sin46{,}34^\circ=3010 var.
S_{BC} = 380\angle120^\circ\;\cdot\;11{,}46\angle-179{,}04^\circ =4355\angle-59{,}04^\circ\text{ VA}, P_{BC}=4355\cos(-59{,}04^\circ)=2243 W, Q_{BC}=4355\sin(-59{,}04^\circ)=-3735 var.
S_{CA} = 380\angle-120^\circ\;\cdot\;12{,}67\angle+120^\circ =4815\angle0^\circ\text{ VA}, P_{CA}=4815 W, Q_{CA}=0 var.

Passo 6

Somamos as fases para obter a potência trifásica total:
P = 2885 + 2243 + 4815 = 9943\text{ W},\quad Q = 3010 - 3735 + 0 = -725\text{ var},
S = P + j\,Q = 9943 - j\,725\text{ VA},\quad |S| = \sqrt{9943^2 + (-725)^2}\approx 9970\text{ VA}.

Resposta

(a) Correntes de fase (ramo Δ): I_{AB}=10{,}97\angle -46{,}34^\circ A, I_{BC}=11{,}46\angle 179{,}04^\circ A, I_{CA}=12{,}67\angle -120^\circ A.
(b) Correntes de linha: I_a=14{,}25\angle 12{,}38^\circ A, I_b=20{,}77\angle 156{,}44^\circ A, I_c=12{,}47\angle -65{,}07^\circ A.
(c) Potências totais: P=9943 W, Q=-725 var, |S|=9970 VA.

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