Uma carga trifásica é alimentada por uma rede, cuja linha tem impedância de 15+j 30 \Omega. A potência complexa associada a cada fase de uma carga equilibrada é 144+j 192 k V A. A tensão de linha nos terminais da carga é 2,45 \mathrm{kV} e a frequência é 60 Hz .
a) Um banco de capacitores conectados em \Delta será instalado em paralelo com a carga, de tal forma que as perdas na linha sejam mínimas. Qual é o valor da capacitância do banco?
b) Qual é o valor do módulo da corrente de linha, antes e depois da instalação dos capacitores?
c) Qual foi a redução percentual das perdas na linha proporcionada pela instalação dos capacitores?
Resp:
a) 84,8473 \mu F
b) 169,67028 A e 101,80217 A

Passo 1

Resumindo, temos uma carga trifásica equilibrada alimentada por uma linha de cada fase com impedância \,Z_{\ell}=15+j30\:\Omega. A potência por fase da carga é
S_{\text{carga, fase}} = 144+j\,192\;\text{kV}\!\cdot\!\text{A},
a tensão de linha nos terminais da carga é \,V_{L}=2{,}45\:\text{kV} e a frequência é f=60\:\text{Hz}.
Queremos:
a) a capacitância de um banco em \Delta que reduza ao mínimo as perdas na linha (isto equivale a zerar a reativa líquida no ponto de carga);
b) o módulo da corrente de linha antes e depois da correção;
c) a redução percentual das perdas na linha.

Passo 2

Para anular a potência reativa da carga, o banco em \Delta deve fornecer Q_{\text{carga, fase}}=192 kVAr por fase. Num arranjo em \Delta, cada ramo vê a tensão de linha V_{L} e fornece
Q_{\text{ramo}} = V_{L}^{2}\,\omega\,C,
onde \omega=2\pi f. Como há 3 ramos e queremos
3\,Q_{\text{ramo}} = 3\times 192\times 10^{3}\:\text{VAR},
temos
V_{L}^{2}\,\omega\,C = 192\times 10^{3}.
Logo
C = \frac{192\times 10^{3}}{(2\pi\cdot60)\,(2450)^{2}} \approx 8{,}4847\times10^{-5}\:\text{F} =84{,}8473\;\mu\text{F}.

Passo 3

Antes da correção, a corrente de linha em módulo é dada por
I_{\text{antes}} =\frac{|S_{\text{total}}|}{\sqrt{3}\,V_{L}},
com |S_{\text{total}}|=3\sqrt{144^{2}+192^{2}}\times10^{3}=720\times10^{3}\:\text{VA}. Assim
I_{\text{antes}} =\frac{720\times10^{3}}{\sqrt{3}\times2450} \approx169{,}67028\:\text{A}.

Passo 4

Depois da correção, a potência reativa líquida passa a ser zero e resta só a ativa
P_{\text{total}}=3\times144\times10^{3}=432\times10^{3}\:\text{W}.
Logo
I_{\text{depois}} =\frac{432\times10^{3}}{\sqrt{3}\times2450} \approx101{,}80217\:\text{A}.

Passo 5

As perdas na linha são
P_{\ell}=3\,I^{2}\,R \quad\text{com }R=15\:\Omega.
Antes:
P_{\ell,\text{antes}} =3\,(169{,}67028)^{2}\times15\approx1{,}29564\times10^{6}\:\text{W}.
Depois:
P_{\ell,\text{depois}} =3\,(101{,}80217)^{2}\times15\approx0{,}46634\times10^{6}\:\text{W}.
Redução percentual:
\frac{P_{\ell,\text{antes}}-P_{\ell,\text{depois}}} {P_{\ell,\text{antes}}}\times100\% \approx64{,}04\%.

Resposta

(a) C=84{,}8473\:\mu\text{F}
(b) I_{\text{antes}}=169{,}67028\:\text{A}, \quad I_{\text{depois}}=101{,}80217\:\text{A}
(c) redução de 64{,}04\% das perdas na linha.

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