Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro ( r<R ) é dado por
E=rho r2 varepsilon0,
onde rho é a densidade volumétrica de carga. (b) escreva uma expressão para E a uma distância r>R. Resp.: rho R^2 / 2 varepsilon0 r

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro infinitamente longo de raio R com carga uniformemente distribuída, densidade volumétrica rho. Precisamos usar o Teorema de Gauss para encontrar o campo elétrico E em duas regiões: (a) dentro do cilindro ( r<R) e (b) fora do cilindro ( r>R).

Passo 2

Para qualquer superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L, a Lei de Gauss diz:
oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0
Por simetria, E é radial e constante sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuem (campo paralelo ao eixo).

Passo 3

Caso interno ( r<R): a carga total dentro da gaussiana vem do volume de raio r,
Qint = rho times (área da base) times L = rho,pi r^2 L á
A área da superfície lateral é A = 2pi r L. Aplicando Gauss,
E,(2pi r L) = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E = rho,r2varepsilon0

Passo 4

Caso externo ( r>R): toda a carga do cilindro de raio R está dentro da gaussiana,
Qint = rho,pi R^2 L
A área lateral agora é 2pi r L. Logo,
E,(2pi r L) = rho,pi R^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E = rho,R^22varepsilon0,r

Resposta

Para r<R:
E = rho,r2varepsilon0
Para r>R:
E = rho,R^22varepsilon0,r

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