Uma carga Q está uniformemente distribuída sobre uma casca esférica de raio a e uma carga -Q está uniformente distribuída sobre outra casca esférica concêntrica de raio 2a. Determine o campo elétrico em um ponto a uma distância r do centro nos casos r, a e r>2a. Represente as linhas de força nas três regiões.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que temos duas cascas esféricas concêntricas:
  • Uma casca de raio com carga distribuída uniformemente.
  • Outra casca de raio com carga distribuída uniformemente.
O que a gente quer é o campo elétrico para três regiões:
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Gauss (fluxo elétrico e carga envolvida).
  • Simetria esférica (o campo só depende de e é radial).

Passo 2

Teoria básica:
A Lei de Gauss diz que
Phi = oint Ecdot dA ;=; Qintvarepsilon0
Para uma superfície gaussiana esférica de raio E(r),(4pi r^2) = Qintvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qintr^2 , é constante e radial, então
Agora, região por região.

Passo 3

Região 1: Qint = 0 .
– Qual a carga “dentro” da casca de raio E(r) = 14pivarepsilon0,0r^2 = 0 ?
A casca de raio só “começa” em , então para não tem carga interna:
– Logo
Linhas de força: nenhuma dentro, porque não há campo.

Passo 4

Região 2: Qint = +Q .
– Agora a superfície de raio E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2, envolve toda a casca interna de carga , mas ainda não envolve a casca externa de .
Então
– Aí
apontando para fora (radialmente).
Linhas de força: saem radialmente da casca interna e vão até a casca externa, onde terminam.

Passo 5

Região 3: Qint = +Q + (-Q) = 0 .
– A superfície de raio E(r) = 0 envolve as duas cascas, total de carga
– Logo
Linhas de força: fora da casca externa não há campo, então nenhuma linha.

Resposta

E® vale
E(r)= 0, & r < a, dfrac14pivarepsilon0,dfracQr^2, & a < r < 2a, 0, & r > 2a
Linhas de força:
  • Para : nada.
  • Para : linhas radiais saindo da casca de raio e terminando na casca de raio .
  • Para : nada.

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