Questão 1
  • (a) Expresse as coordenadas cartesianas x, y e z em termos das coordenadas circulares cilíndricas rho, varphi e z.
  • (b) Obtenha os fatores de escala em coordenadas cilíndricas dados por
hi=raizpartial^2 xpartial qi^2+partial^2 ypartial qi^2+partial^2 zpartial qi^2 ; i=1,2,3,
onde q1=rho, q2=varphi e q3=z.
© Obtenha o elemento infinitesimal de comprimento em coordenadas cilíndricas
d lambda=sumi=1^3 hi d qi qi
Obtenha também os elementos infinitesimais de superfície d sigmai j=hi hj d qi d qj.
(d) Encontre o rotacional do campo vetorial V=V1 rho+V2 varphi+V3 z em coordenadas cilíndricas. Você pode utilizar a forma de determinante do rotacional dada abaixo:
nabla times V=1h1 h2 h3|ccc q1 h1 & q2 h2 & q3 h3 partialpartial q1 & partialpartial q2 & partialpartial q3 h1 V1 & h2 V2 & h3 V3 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para transformar coordenadas cartesianas em cilíndricas, encontrar fatores de escala, elementos infinitesimais de comprimento e superfície, e calcular o rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar saber como converter entre os sistemas de coordenadas e usar algumas fórmulas de cálculo vetorial.

Passo 2

Parte (a): Expressar $ x, y, z $ em termos de $ \rho, \varphi, z $.
As coordenadas cilíndricas x, y, z são relacionadas às coordenadas cartesianas rho, varphi, z da seguinte forma:
(rho, varphi, z)
(x, y, z)
x = rho cos varphi
Então, expressamos $ x $ e $ y $ em função de $ \rho $ e $ \varphi $, enquanto $ z $ permanece o mesmo.

Passo 3

Parte (b): Obter os fatores de escala $ h_i $ em coordenadas cilíndricas.
Os fatores de escala ajudam a relacionar as mudanças nas coordenadas cilíndricas com as coordenadas cartesianas. A fórmula dada é:
hi
onde $ q_1 = \rho $, $ q_2 = \varphi $, e $ q_3 = z $.
Vamos calcular cada $ h_i $:
  1. Para $ i = 1 $ ($ q_1 = \rho $):
hi = raiz(partial xpartial qi)^2 + (partial ypartial qi)^2 + (partial zpartial qi)^2
q1 = rho
q2 = varphi
Então,
q3 = z
  1. Para $ i = 2 $ ($ q_2 = \varphi $):
hi
i = 1
q1 = rho
Então,
partial xpartial rho = cos varphi
  1. Para $ i = 3 $ ($ q_3 = z $):
partial ypartial rho = sin varphi
partial zpartial rho = 0
h1 = raizcos^2 varphi + sin^2 varphi = raiz1 = 1
Então,
i = 2
Resumo dos fatores de escala:
q2 = varphi

Passo 4

Parte ©: Obter o elemento infinitesimal de comprimento e os elementos infinitesimais de superfície.
  1. Elemento infinitesimal de comprimento $ d\vec{\lambda} $:
dlambda
Substituindo os valores de $ h_i $:
dlambda = h1 , drho , rho + h2 , dvarphi , varphi + h3 , dz , z
  1. Elementos infinitesimais de superfície $ d\sigma_{ij} $:
hi
Vamos calcular para cada par dlambda = drho , rho + rho , dvarphi , varphi + dz , z :
  • $ d\sigma_{\rho \varphi} $:
dsigmaij
  • $ d\sigma_{\rho z} $:
dsigmaij = hi hj , dqi , dqj
  • $ d\sigma_{\varphi z} $:
(i, j)
Resumo dos elementos infinitesimais de superfície:
dsigmarho varphi
dsigmarho varphi = h1 h2 , drho , dvarphi = 1 cdot rho , drho , dvarphi = rho , drho , dvarphi
dsigmarho z

Passo 5

Parte (d): Encontrar o rotacional do campo vetorial $ \vec{V} = V_1 \hat{\rho} + V_2 \hat{\varphi} + V_3 \hat{z} $ em coordenadas cilíndricas.
Vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas gerais:
V = V1 rho + V2 varphi + V3 z
Substituindo $ h_1 = 1 $, $ h_2 = \rho $, $ h_3 = 1 $ e $ q_1 = \rho $, $ q_2 = \varphi $, $ q_3 = z $:
nabla times V = 1h1 h2 h3 q1 h1 & q2 h2 & q3 h3 partialpartial q1 & partialpartial q2 & partialpartial q3 h1 V1 & h2 V2 & h3 V3
Calculando o determinante:
h1 = 1
Simplificando:
h2 = rho

Resposta

O rotacional do campo vetorial $ \vec{V} $ em coordenadas cilíndricas é dado por:
V

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