Obtenha também os elementos infinitesimais de superfície .
(d) Encontre o rotacional do campo vetorial em coordenadas cilíndricas. Você pode utilizar a forma de determinante do rotacional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para transformar coordenadas cartesianas em cilíndricas, encontrar fatores de escala, elementos infinitesimais de comprimento e superfície, e calcular o rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar saber como converter entre os sistemas de coordenadas e usar algumas fórmulas de cálculo vetorial.
Passo 2
Parte (a): Expressar $ x, y, z $ em termos de $ \rho, \varphi, z $.
As coordenadas cilíndricas x, y, z são relacionadas às coordenadas cartesianas rho, varphi, z da seguinte forma:
(rho, varphi, z)
(x, y, z)
x = rho cos varphi
Então, expressamos $ x $ e $ y $ em função de $ \rho $ e $ \varphi $, enquanto $ z $ permanece o mesmo.
Passo 3
Parte (b): Obter os fatores de escala $ h_i $ em coordenadas cilíndricas.
Os fatores de escala ajudam a relacionar as mudanças nas coordenadas cilíndricas com as coordenadas cartesianas. A fórmula dada é:
hi
onde $ q_1 = \rho $, $ q_2 = \varphi $, e $ q_3 = z $.