Um disco circular com r \leq 1 \mathrm{~m}, situado em z=0 com centro na origem, tem densidade \sigma=2\left(r^{2}+25\right)^{3 / 2} e^{-10 r} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Ache o vetor campo elétrico \vec{E} no ponto ( 0,0,5 ) m .

Passo 1

O enunciado pede o vetor campo elétrico no ponto (0,0,5) m gerado por um disco circular de raio máximo r\le 1 m situado no plano z=0 e centrado na origem. As informações dadas são:
\sigma(r)=2\bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2}e^{-10r}\quad\text{C/m}^{2},
onde \sigma depende só da coordenada radial r (sistema de coordenadas cilíndricas). O ponto onde queremos \vec{E} está sobre o eixo do disco, a uma altura z=5 m. Precisamos achar \vec{E}(0,0,5).

Passo 2

Estratégia (aqui apenas explico o que vamos fazer, não calculo): por simetria, as componentes radiais do campo geradas por elementos simétricos do disco se cancelam, sobrando apenas a componente ao longo do eixo z. Então podemos dividir o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr, somar (integrar) a contribuição de cada anel ao longo do eixo e obter E_z. Vou usar a lei de Coulomb na forma com a constante k=1/(4\pi\varepsilon_0) e integrar sobre a área.

Passo 3

Modelagem de um anel: considere um anel de raio r e largura dr. A área desse anel é dA = 2\pi r\,dr. A carga do anel é
dq=\sigma(r)\,dA=\sigma(r)\,2\pi r\,dr.
Fórmula básica: o campo axial devido a uma carga pontual dq a uma distância s do ponto é d\vec{E}=k\,\dfrac{dq}{s^{2}}\hat{r}_{\text{direção}}çã, mas para um anel completo temos a contribuição axial
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{z}{\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,dq.
Explicação rápida dessa fórmula: a componente axial de um elemento de carga a distância \sqrt{r^{2}+z^{2}} do ponto vale k\,dq/(\,r^{2}+z^{2}\,) multiplicada por \cos\theta com \cos\theta = z/\sqrt{r^{2}+z^{2}}. Combinando dá o fator \dfrac{z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} multiplicado por k.

Passo 4

Substituímos dq na expressão de dE_z. Usando z=5 m (valor do ponto) e \sigma(r)=2\bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2}e^{-10r}, obtemos
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{z}{\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\; \bigl[2\bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2}e^{-10r}\bigr]\;2\pi r\,dr.
Agora note algo importante: no enunciado z=5 m, então z^{2}=25, portanto r^{2}+z^{2}=r^{2}+25. Isso faz aparecer o mesmo fator \bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2} no numerador e no denominador — vai simplificar muito.

Passo 5

Simplificação algébrica passo a passo. Colocando tudo junto:
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,z\cdot \frac{2\bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2}e^{-10r}\;2\pi r\,dr}{\bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2}}.
Corta-se \bigl(r^{2}+25\bigr)^{3/2} e multiplicando os coeficientes:
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,z\cdot 4\pi r\,e^{-10r}\,dr.
Agora 4\pi cancela com 1/(4\pi\varepsilon_0) deixando 1/\varepsilon_0. Assim
dE_z=\frac{z}{\varepsilon_0}\; r e^{-10r}\,dr.
Para obter E_z integramos de r=0 até r=1:
E_z=\int_{0}^{1} dE_z=\frac{z}{\varepsilon_0}\int_{0}^{1} r e^{-10r}\,dr.

Passo 6

Agora calculamos a integral \displaystyle \int_{0}^{1} r e^{-10r}\,dr. Vou mostrar o procedimento de integração por partes (é um truque padrão para integrais do tipo r e^{ar}).
Tomamos u=r e dv=e^{-10r}dr. Então du=dr e v=-\tfrac{1}{10}e^{-10r}. Aplicando integração por partes:
\int r e^{-10r}\,dr = uv-\int v\,du = -\frac{r}{10}e^{-10r} - \int\Bigl(-\frac{1}{10}e^{-10r}\Bigr)\,dr.
A segunda integral dá \tfrac{1}{10}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{10}e^{-10r}\bigr) = -\tfrac{1}{100}e^{-10r}. Assim
\int r e^{-10r}\,dr = -e^{-10r}\Bigl(\frac{r}{10}+\frac{1}{100}\Bigr)+C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} r e^{-10r}\,dr = \Bigl[-e^{-10r}\Bigl(\frac{r}{10}+\frac{1}{100}\Bigr)\Bigr]_{0}^{1} = -e^{-10}\Bigl(\frac{1}{10}+\frac{1}{100}\Bigr) -\Bigl(-e^{0}\frac{1}{100}\Bigr).
Calculando os coeficientes dentro:
\frac{1}{10}+\frac{1}{100}=\frac{11}{100},
portanto
\int_{0}^{1} r e^{-10r}\,dr = -\frac{11}{100}e^{-10} + \frac{1}{100} = \frac{1-11e^{-10}}{100}.

Passo 7

Voltando para E_z, lembrando z=5:
E_z=\frac{z}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1-11e^{-10}}{100} =\frac{5}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1-11e^{-10}}{100} =\frac{1-11e^{-10}}{20\varepsilon_0}.
O vetor campo aponta ao longo do eixo +z (para cima), porque a carga é positiva (densidade \sigma>0), então
\vec{E} = E_z\,\hat{z} = \frac{1-11e^{-10}}{20\varepsilon_0}\,\hat{z}\quad\text{(N/C)}.

Passo 8

Avaliação numérica rápida para ter uma ideia do valor. Tomando \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12} F/m e e^{-10}\approx 4{,}539993\times10^{-5}, temos 1-11e^{-10}\approx 0{,}9995006007. Assim
E_z\approx \frac{0{,}9995006007}{20\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}} \approx 5{,}642\times10^{9}\\ \text{N/C}.
Portanto o campo é para cima com essa magnitude.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{1-11e^{-10}}{20\varepsilon_0}\,\hat{z}\quad\text{N/C}
\displaystyle \approx 5{,}642\times10^{9}\,\hat{z}\\ \text{N/C}

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