Um disco circular com
, situado em
com centro na origem, tem densidade
. Ache o vetor campo elétrico
no ponto (
) m .
Passo 1
O enunciado pede o vetor campo elétrico no ponto
m gerado por um disco circular de raio máximo
m situado no plano
e centrado na origem. As informações dadas são:
onde
depende só da coordenada radial
(sistema de coordenadas cilíndricas). O ponto onde queremos
está sobre o eixo do disco, a uma altura
m. Precisamos achar
.
Passo 2
Estratégia (aqui apenas explico o que vamos fazer, não calculo): por simetria, as componentes radiais do campo geradas por elementos simétricos do disco se cancelam, sobrando apenas a componente ao longo do eixo
. Então podemos dividir o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura
, somar (integrar) a contribuição de cada anel ao longo do eixo e obter
. Vou usar a lei de Coulomb na forma com a constante
e integrar sobre a área.
Passo 3
Modelagem de um anel: considere um anel de raio
e largura
. A área desse anel é
. A carga do anel é
Fórmula básica: o campo axial devido a uma carga pontual
a uma distância
do ponto é
, mas para um anel completo temos a contribuição axial
Explicação rápida dessa fórmula: a componente axial de um elemento de carga a distância
do ponto vale
multiplicada por
com
. Combinando dá o fator
multiplicado por
.
Passo 4
Substituímos
na expressão de
. Usando
m (valor do ponto) e
, obtemos
Agora note algo importante: no enunciado
m, então
, portanto
. Isso faz aparecer o mesmo fator
no numerador e no denominador — vai simplificar muito.
Passo 5
Simplificação algébrica passo a passo. Colocando tudo junto:
Corta-se
e multiplicando os coeficientes:
Agora
cancela com
deixando
. Assim
Para obter
integramos de
até
:
Passo 6
Agora calculamos a integral
. Vou mostrar o procedimento de integração por partes (é um truque padrão para integrais do tipo
).
Tomamos
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
A segunda integral dá
. Assim
Agora avaliamos de
a
:
Calculando os coeficientes dentro:
portanto
Passo 7
Voltando para
, lembrando
:
O vetor campo aponta ao longo do eixo
(para cima), porque a carga é positiva (densidade
), então
Passo 8
Avaliação numérica rápida para ter uma ideia do valor. Tomando
F/m e
, temos
. Assim
Portanto o campo é para cima com essa magnitude.