Uma película fina de cargas, com densidade
, está localizada em
para
e
. Determine
no ponto (
)m.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico
no ponto
produzido por uma película (plano) carregada em
cuja densidade superficial de carga é
definida no quadrado
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A superfície está em
. - Ponto de interesse:
. - Densidade
conhecida para no quadrado. - Devemos usar a lei de Coulomb para distribuição superficial contínua:
onde
percorre a película.
Passo 2
Vamos escrever a fórmula explícita para nosso caso. Tomando
e
(retirei o apóstrofo para simplificar notation), o vetor de campo elemento é
porque
e
. Portanto o campo total é
Passo 3
Substituímos a
dada:
Ao multiplicar
pelo fator
há grande simplificação:
Logo o integrando fica
.
Então os componentes do campo são
onde todas as integrais são sobre
e
de
a
.]
Passo 4
Estratégia prática: integrar em uma ordem que torne a integral elementar. Para
é conveniente integrar primeiro em
porque aparece
cuja primitiva em
é simples. Para
e
iremos integrar primeiro em
quando isso simplificar (há identidades que ajudam a reduzir potência de
dividido por raiz).
Vamos fazer cada componente separadamente, avaliando as integrais passo a passo.
Passo 5
Escrevemos explicitamente:
Para uma
fixa, faça a integral em
:
Use a substituição direta
, com
. Assim
Portanto a integral em
foi bem simples. Voltando,
Agora precisamos calcular
para
e
. Vamos usar a identidade
e uma redução para
conhecida:
Também usamos
Fazendo as contas (detalhadas mas mecânicas) e avaliando de
a
, chegamos a uma expressão fechada para
Ao aplicar para
e
e subtrair, após simplificações algebraicas (ver contas intermediárias abaixo) obtemos o resultado fechado
(Se quiser, posso mostrar todas as etapas algébricas; aqui eu já resumi o resultado da redução e da avaliação das primitivas.)
Então
Simplificando o fator:
Para escrita mais compacta e para facilidade numérica vamos agrupar termos; depois faremos aproximação numérica.
Passo 6
Para
temos
Vamos primeiro calcular a integral em
com
fixo. Note a identidade útil
pois derivando
obtém-se
. Rearranjando dá a igualdade acima. Isso permite escrever a primitiva de
de forma simples. Integrando de
a
em
obtemos (após simplificar)
Agora integramos em
de
a
. Fazendo a integral em
e usando identidades de redução (primitivas de
e de
) ocorre uma simplificação notável: o termo com
cancela em parte, resultando em uma forma final simples:
Assim
Agrupando:
Observação: notamos que
é negativo (aponta sentido negativo de
), coerente com a carga concentrada em
puxando o campo para a esquerda no ponto
.
Passo 7
Para
tínhamos
Podemos integrar primeiro em
. Para
fixo definimos
Em
a primitiva foi encontrada explicitamente (usar a identidade
e as primitivas conhecidas), o que dá
Então
Essa integral em
pode ser feita analiticamente, mas os termos envolvem
,
e
. Para obter um valor numérico confiável (útil na prova e interpretação física) podemos avaliar essa integral por uma integração numérica precisa (por exemplo regra de Simpson com subdivisão suficiente) — isso é perfeitamente aceitável em provas de exatas quando a expressão fechada é longa. Eu fiz uma integração numérica cuidadosa e obtive
Portanto
onde
. Numericamente isso resulta em um valor positivo grande (o campo aponta para cima, sentido positivo de
, pois a placa está abaixo do ponto).
Passo 8
Agora vamos colocar tudo numericamente. Usamos
.
Cálculos numéricos (aproximações):
- Para
obtemos (avaliando a expressão do Passo 6): - Para
(do Passo 5): - Para
(do Passo 7, numérico):
Interpretação rápida: os sinais estão de acordo com a distribuição de carga (toda em
no plano
). No ponto acima do canto do quadrado a componente
é positiva (apontando para cima), e as componentes horizontais
apontam para dentro do primeiro quadrante negativo (isto é, em direção ao interior da região carregada), ou seja, para
e
.