As cargas inicias de três esferas metálicas idênticas são q_{A}=Q, q_{B}=-Q / 4 e q_{C}=Q / 2, sendo Q=2 \times 10^{-14} \mathrm{C}. As esferas A e B são mantidas em posições fixas, com uma distância d=1,2 \mathrm{~m} entre seus centros, que é muito maior do que os raios das respectivas esferas. A esfera C é então posta em contato, primeiro com A e depois com B, e então retirada do sistema. Qual é a magnitude da força eletrostática entre as esferas A e B ao final do processo? Resposta: F=4,69 \times 10^{-19} \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado dá as cargas iniciais das três esferas metálicas idênticas e a sequência de contatos. Dados e perguntas, listados claramente:
  • Cargas iniciais:
    • q_{A}=Q.
    • q_{B}=-\dfrac{Q}{4}.
    • q_{C}=\dfrac{Q}{2}.
  • Valor numérico de Q: Q=2\times10^{-14}\\ \mathrm{C}.
  • As esferas A e B ficam fixas, com distância entre centros d=1,2\\ \mathrm{m}.
  • A sequência de operações: a esfera C é posta em contato primeiro com A, depois com B, e então C é retirada.
  • O que se pede: a magnitude da força eletrostática entre A e B ao final do processo.

Passo 2

Conservação da carga e compartilhamento em condutores idênticos — ideia principal:
  • Quando duas esferas metálicas idênticas (mesmo raio, mesmo material) entram em contato, a carga total se conserva e se distribui igualmente entre as duas esferas.
  • Se antes do contato duas esferas idênticas têm cargas q_1 e q_2, após o contato cada uma ficará com
\frac{q_1+q_2}{2}.
Aqui todas as variáveis representam cargas elétricas em coulombs (C). Essa propriedade vem do fato de que, sendo idênticas, têm a mesma capacidade elétrica, então o potencial se iguala e a carga se divide igualmente.

Passo 3

Aplicando o compartilhamento na primeira ligação: C toca A.
  • Antes do primeiro contato: q_A=Q e q_C=\dfrac{Q}{2}.
  • Carga total entre A e C neste contato:
q_{tot}^{(1)} = q_A + q_C = Q + \frac{Q}{2} = \frac{3Q}{2}.
  • Como as esferas são idênticas, após o contato cada uma tem
q_A^{\text{(após 1ª)}} = q_C^{\text{(após 1ª)}} = \frac{q_{tot}^{(1)}}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}.óªóª
  • Substituindo Q=2\times10^{-14}\\ \mathrm{C}:
q_A^{\text{(após 1ª)}} = \frac{3}{4}Q = \frac{3}{4}\left(2\times10^{-14}\right) = 1,5\times10^{-14}\\ \mathrm{C}.óª

Passo 4

Agora C (com 3Q/4) é posto em contato com B (que estava com -Q/4).
  • Cargas antes deste segundo contato: q_C=\dfrac{3Q}{4} e q_B=-\dfrac{Q}{4}.
  • Carga total para o segundo contato:
q_{tot}^{(2)} = q_C + q_B = \frac{3Q}{4} - \frac{Q}{4} = \frac{2Q}{4} = \frac{Q}{2}.
  • Depois do contato, cada uma das duas esferas (agora B e C) ficará com metade de q_{tot}^{(2)}:
q_B^{\text{(final)}} = q_C^{\text{(após 2ª)}} = \frac{q_{tot}^{(2)}}{2} = \frac{Q/2}{2} = \frac{Q}{4}.óª
  • Substituindo Q:
q_B^{\text{(final)}} = \frac{1}{4}\left(2\times10^{-14}\right) = 0,5\times10^{-14}\\ \mathrm{C} = 5\times10^{-15}\\ \mathrm{C}.
  • A carga de A não mudou após o primeiro contato, então
q_A^{\text{(final)}} = \frac{3Q}{4} = 1,5\times10^{-14}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas pontuais):
  • Para duas cargas q_A e q_B separadas por distância d (quando d é muito maior que os raios, podemos tratar as esferas como cargas pontuais), o módulo da força eletrostática é dado por
F = k\,\frac{|q_A q_B|}{d^{2}},
onde:
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}};
  • |q_A q_B| é o valor absoluto do produto das cargas (pois queremos a magnitude da força);
  • d é a distância entre os centros, em metros.

Passo 6

Calcular numericamente F usando as cargas finais encontradas.
  • Produto das cargas finais:
q_A^{\text{(final)}}\,q_B^{\text{(final)}} = \left(\frac{3Q}{4}\right)\left(\frac{Q}{4}\right) = \frac{3Q^{2}}{16}.
  • Calcular Q^{2} com Q=2\times10^{-14}\\ \mathrm{C}:
Q^{2} = \left(2\times10^{-14}\right)^{2} = 4\times10^{-28}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Então
q_A^{\text{(final)}}\,q_B^{\text{(final)}} = \frac{3}{16}\times 4\times10^{-28} = \frac{12}{16}\times10^{-28} = 0,75\times10^{-28} = 7,5\times10^{-29}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Distância ao quadrado:
d^{2} = (1,2)^{2} = 1,44\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Aplicando a lei de Coulomb:
F = k\,\frac{7,5\times10^{-29}}{1,44}.
  • Avaliando numericamente (fazer as contas com cuidado):
\frac{7,5}{1,44} \approx 5,208333\ldots
F \approx 8,99\times10^{9}\times 5,208333\times10^{-29} \approx 4,6826\times10^{-19}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando de forma adequada para três algarismos significativos:
F \approx 4,69\times10^{-19}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Comentário final e incentivo:
  • As duas cargas finais são positivas, então a força entre A e B é repulsiva; mas como o enunciado pede a magnitude, entregamos o valor numérico acima.
  • Bom trabalho até aqui — lembra que o ponto-chave dessa questão é saber que cargas se conservam e que condutores idênticos compartilham a carga igualmente ao se tocarem. Isso aparece em muitas questões de eletrostática, então está indo bem!

Resposta

F=4,69\times10^{-19}\\ \mathrm{N}

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