Uma canoa possui velocidade de 0,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do sul para leste em relação a Terra. A canoa se desloca em um rio que escoa a 0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do oeste para leste em relação à Terra. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da canoa em relação ao rio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Velocidade da canoa em relação à Terra: \,0,40\\ \mathrm{m/s} na direção “do sul para leste” (vamos interpretar essa expressão como direção sudeste, ou seja, exatamente a meio caminho entre sul e leste).
  • Velocidade do rio em relação à Terra: \,0,50\\ \mathrm{m/s} do oeste para leste (ou seja, para o leste).
  • O que pedem: determinar o módulo, a direção e o sentido da velocidade da canoa em relação ao rio.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Magnitudes: \,|\vec{v}_{CE}|=0,40\\ \mathrm{m/s} e \,|\vec{v}_{RE}|=0,50\\ \mathrm{m/s}.
  • Direções: canoa para sudeste (45° entre sul e leste); rio para leste (0° em relação ao eixo leste).

Passo 2

Escolher sistema de referência e relação de velocidades. Vou usar:
  • Eixo x: leste positivo.
  • Eixo y: norte positivo (logo sul é direção y negativa).
Definições vetoriais (para ficar claro):
  • \vec{v}_{CE} = velocidade da canoa em relação à Terra.
  • \vec{v}_{RE} = velocidade do rio em relação à Terra.
  • \vec{v}_{CR} = velocidade da canoa em relação ao rio (é o que queremos).
Relação entre elas (regra de velocidades relativas):
\vec{v}_{CR}=\vec{v}_{CE}-\vec{v}_{RE}.
Vou calcular componentes de \vec{v}_{CE} e \vec{v}_{RE}, fazer a subtração componente a componente e então obter módulo e direção.

Passo 3

Componentes da velocidade da canoa em relação à Terra. Interpretação: “sudeste” = 45^\circ ao sul do leste, ou seja, direção que tem componente leste positiva e componente norte negativa, com ângulos iguais. Logo:
\vec{v}_{CE}=\big(v_{CE,x},\,v_{CE,y}\big)
com
v_{CE,x}=0,40\cos45^\circ,\qquad v_{CE,y}=-\,0,40\sin45^\circ.
Lembrando que \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0,7071. Então
v_{CE,x}=0,40\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,40\cdot0,7071\approx0,2828\\ \mathrm{m/s},
v_{CE,y}=-0,40\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\approx-0,2828\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Componentes da velocidade do rio em relação à Terra. O rio vai do oeste para o leste, portanto apenas componente em x:
\vec{v}_{RE}=(0,50,\;0)\\ \mathrm{m/s}.
Agora calculo \vec{v}_{CR}=\vec{v}_{CE}-\vec{v}_{RE} componente a componente:
v_{CR,x}=v_{CE,x}-v_{RE,x}=0,2828-0,50=-0,2172\\ \mathrm{m/s},
v_{CR,y}=v_{CE,y}-v_{RE,y}=-0,2828-0=-0,2828\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo do módulo de \vec{v}_{CR}. Fórmula do módulo de um vetor em componentes:
|\vec{v}_{CR}|=\sqrt{v_{CR,x}^{\,2}+v_{CR,y}^{\,2}}.
Substituindo os valores:
|\vec{v}_{CR}|=\sqrt{(-0,2172)^{2}+(-0,2828)^{2}}=\sqrt{0,04716+0,07998}=\sqrt{0,12714}\approx0,3567\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente: \,0,357\\ \mathrm{m/s} (ou \,0,36\\ \mathrm{m/s} com duas casas significativas).

Passo 6

Cálculo da direção e do sentido. Para o ângulo relativo ao eixo leste (ou a outro referencial), primeiro vejo o quadrante: v_{CR,x}=-0,2172 (componente x negativa → aponta para o oeste) e v_{CR,y}=-0,2828 (componente y negativa → aponta para o sul). Então \vec{v}_{CR} aponta para o quadrante sudoeste (sul–oeste).
Para obter o ângulo entre a direção resultante e o oeste (medido para o sul), uso:
\theta=\arctan\!\left(\frac{|v_{CR,y}|}{|v_{CR,x}|}\right)=\arctan\!\left(\frac{0,2828}{0,2172}\right)\approx\arctan(1,302)\approx52,9^\circ.
Interpretação: a velocidade relativa da canoa em relação ao rio aponta para sudoeste, formando um ângulo de \,52,9^\circ ao sul do oeste. Equivalentemente, esse vetor forma um ângulo de 37,1^\circ a oeste do sul (pois 37,1^\circ=90^\circ-52,9^\circ).

Resposta

Módulo: \,0,357\\ \mathrm{m/s} (aprox.)
Direção: para o sudoeste, formando \,52,9^\circ ao sul do oeste (equivalente a \,37,1^\circ a oeste do sul)
Sentido: apontando para o sudoeste (componente para oeste e para sul)

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