A água de um rio se escoa com velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do norte para o sul. Um homem dirige um barco com motor ao longo do rio; com velocidade igual a 4,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à água, de oeste para leste. A largura do rio é igual a 800 m . a) Determine o módulo, a direção e o sentido da sua velocidade em relação à Terra? Quanto tempo é necessário para
atravessar o rio? c) A que distância ao sul do ponto inicia ele atingirá a margem oposta?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
Dados fornecidos:
Velocidade da água em relação à Terra: \vec{v}_{\text{água}} = 2,0\\ \mathrm{m/s} do norte para o sul.
Velocidade do barco em relação à água (velocidade fornecida pelo motor): \vec{v}_{\text{barco/água}} = 4,2\\ \mathrm{m/s} de oeste para leste.
Largura do rio (distância entre as margens, medida no sentido oeste–leste): 800\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
a) Determinar o módulo, a direção e o sentido da velocidade do homem (do barco) em relação à Terra (ou seja, \vec{v}_{\text{barco/Terra}}).
b) Determinar quanto tempo é necessário para atravessar o rio (ir de uma margem à outra).
c) Determinar a que distância ao sul do ponto de partida ele atingirá a margem oposta (deslocamento sul durante a travessia).
Passo 2
Escolher um sistema de eixos e escrever as velocidades em componentes (isso facilita tudo).
Convenção de sinais e eixos (escolha simples):
Eixo x: positivo para leste.
Eixo y: positivo para norte (então sul é direção negativa de y).
Escrever as velocidades dadas em componentes:
A velocidade da água é somente para o sul, com módulo 2,0\\ \mathrm{m/s}. Em componentes isso é
Observação didática curta: representar vetores por componentes significa dizer quanto do vetor aponta ao longo de cada eixo (leste–oeste e norte–sul). Isso permite somar vetores componente a componente.
Passo 3
Encontrar a velocidade do barco em relação à Terra usando soma vetorial (adição de velocidades).
A regra física é simples: velocidade do barco em relação à Terra é a soma da velocidade do barco relativa à água com a velocidade da água relativa à Terra:
Interpretação: o barco, visto do solo, move-se para leste com 4,2\\ \mathrm{m/s} e para o sul com 2,0\\ \mathrm{m/s} ao mesmo tempo — ou seja, descreve uma trajetória inclinada para sudeste.
Passo 4
Calcular o módulo (velocidade escalar) de \vec{v}_{\text{barco/Terra}} usando o Teorema de Pitágoras (porque componentes x e y são perpendiculares).
Fórmula (explicando cada símbolo):
Se um vetor tem componentes v_x e v_y, seu módulo é dado por \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aqui v_x é a componente leste (aqui 4,2) e v_y é a componente norte (aqui -2,0, negativo porque é para sul).
Breve comentário didático: o módulo é a velocidade com que o barco avança em relação ao solo, combinando movimento leste e sul.
Passo 5
Calcular a direção (ângulo) da velocidade em relação ao leste e indicar o sentido (sudeste).
Para um vetor com componentes v_x (leste) e v_y (norte), o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo (leste) é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right),
quando se quer o ângulo entre a direção do eixo x e o vetor; usa-se valor absoluto de v_y para obter a magnitude do ângulo e depois se indica o sentido (norte ou sul) segundo o sinal de v_y.
Interpretação de sentido: como v_x>0 e v_y<0, o vetor aponta para leste e para sul — ou seja, “sudeste” — e o ângulo é 25,5^\circ ao sul do leste. Em linguagem corrente: o barco se move com velocidade de 4,65\\ \mathrm{m/s} em direção 25,5^\circ ao sul do leste.
Passo 6
Calcular o tempo necessário para atravessar o rio.
Raciocínio físico: atravessar o rio (ir da margem oeste para a margem leste) significa deslocar-se na direção leste até cobrir a largura 800\\ \mathrm{m}. Só a componente leste da velocidade do barco em relação à Terra (ou em relação à água, neste caso são iguais porque a água não tem componente leste) contribui para esse deslocamento. Assim, o tempo t é
Explicação didática: mesmo que a água arraste o barco para o sul, isso não atrasa a travessia no sentido leste–oeste, porque a componente leste do movimento não foi reduzida.
Passo 7
Calcular a distância que o barco desloca para o sul durante a travessia.
Raciocínio: a componente sul da velocidade do barco em relação à Terra é 2,0\\ \mathrm{m/s}. Durante o tempo t obtido, o deslocamento para o sul é
\Delta y = v_{y}\, t = 2,0 \cdot \frac{800}{4,2}\\ \mathrm{m}.
Interpretação: ele vai atingir a margem oposta cerca de 381\\ \mathrm{m} ao sul do ponto de partida.
Passo 8
Resumo final dos valores com unidades e interpretação curta:
Módulo da velocidade em relação à Terra: \left|\vec{v}_{\text{barco/Terra}}\right|\approx 4,65\\ \mathrm{m/s}.
Direção e sentido: 25,5^\circ ao sul do leste (ou seja, sentido sudeste).
Tempo para atravessar: t\approx 190,48\\ \mathrm{s} (aprox. 3\\ \text{min}\;10,5\\ \text{s}).
Distância ao sul onde atinge a outra margem: \approx 381\\ \mathrm{m}.
Resposta
(a) 4,65\\ \mathrm{m/s};\\\ 25,5^\circ ao sul do leste (sudeste).
(b) 190,48\\ \mathrm{s}\approx 3\\ \text{min}\;10{,}5\\ \text{s}.
(c) 381\\ \mathrm{m}.