A água de um rio se escoa com velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do norte para o sul. Um homem dirige um barco com motor ao longo do rio; com velocidade igual a 4,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à água, de oeste para leste. A largura do rio é igual a 800 m . a) Determine o módulo, a direção e o sentido da sua velocidade em relação à Terra? Quanto tempo é necessário para
atravessar o rio? c) A que distância ao sul do ponto inicia ele atingirá a margem oposta?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade da água em relação à Terra: \vec{v}_{\text{água}} = 2,0\\ \mathrm{m/s}á do norte para o sul.
    • Velocidade do barco em relação à água (velocidade fornecida pelo motor): \vec{v}_{\text{barco/água}} = 4,2\\ \mathrm{m/s}á de oeste para leste.
    • Largura do rio (distância entre as margens, medida no sentido oeste–leste): 800\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar o módulo, a direção e o sentido da velocidade do homem (do barco) em relação à Terra (ou seja, \vec{v}_{\text{barco/Terra}}).
    b) Determinar quanto tempo é necessário para atravessar o rio (ir de uma margem à outra).
    c) Determinar a que distância ao sul do ponto de partida ele atingirá a margem oposta (deslocamento sul durante a travessia).

Passo 2

Escolher um sistema de eixos e escrever as velocidades em componentes (isso facilita tudo).
  • Convenção de sinais e eixos (escolha simples):
    • Eixo x: positivo para leste.
    • Eixo y: positivo para norte (então sul é direção negativa de y).
  • Escrever as velocidades dadas em componentes:
    • A velocidade da água é somente para o sul, com módulo 2,0\\ \mathrm{m/s}. Em componentes isso é
    \vec{v}_{\text{água}} = (0,\,-2,0)\\ \mathrm{m/s}.á
    • A velocidade do barco em relação à água é somente para o leste, com módulo 4,2\\ \mathrm{m/s}. Em componentes:
    \vec{v}_{\text{barco/água}} = (4,2,\,0)\\ \mathrm{m/s}.á
Observação didática curta: representar vetores por componentes significa dizer quanto do vetor aponta ao longo de cada eixo (leste–oeste e norte–sul). Isso permite somar vetores componente a componente.

Passo 3

Encontrar a velocidade do barco em relação à Terra usando soma vetorial (adição de velocidades).
A regra física é simples: velocidade do barco em relação à Terra é a soma da velocidade do barco relativa à água com a velocidade da água relativa à Terra:
\vec{v}_{\text{barco/Terra}}=\vec{v}_{\text{barco/água}}+\vec{v}_{\text{água}}.áá
Somando as componentes x e y:
\vec{v}_{\text{barco/Terra}} = (4,2,\;0) + (0,\,-2,0) = (4,2,\;-2,0)\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o barco, visto do solo, move-se para leste com 4,2\\ \mathrm{m/s} e para o sul com 2,0\\ \mathrm{m/s} ao mesmo tempo — ou seja, descreve uma trajetória inclinada para sudeste.

Passo 4

Calcular o módulo (velocidade escalar) de \vec{v}_{\text{barco/Terra}} usando o Teorema de Pitágoras (porque componentes x e y são perpendiculares).
Fórmula (explicando cada símbolo):
  • Se um vetor tem componentes v_x e v_y, seu módulo é dado por \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
    • Aqui v_x é a componente leste (aqui 4,2) e v_y é a componente norte (aqui -2,0, negativo porque é para sul).
Aplicando:
\left|\vec{v}_{\text{barco/Terra}}\right|=\sqrt{(4,2)^{2}+(-2,0)^{2}}=\sqrt{4,2^{2}+2,0^{2}}.
Calcular os quadrados:
4,2^{2}=17,64,\qquad 2,0^{2}=4,00,
\left|\vec{v}_{\text{barco/Terra}}\right|=\sqrt{17,64+4,00}=\sqrt{21,64}\approx 4,65\\ \mathrm{m/s}.
Breve comentário didático: o módulo é a velocidade com que o barco avança em relação ao solo, combinando movimento leste e sul.

Passo 5

Calcular a direção (ângulo) da velocidade em relação ao leste e indicar o sentido (sudeste).
  • Para um vetor com componentes v_x (leste) e v_y (norte), o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo (leste) é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right),
quando se quer o ângulo entre a direção do eixo x e o vetor; usa-se valor absoluto de v_y para obter a magnitude do ângulo e depois se indica o sentido (norte ou sul) segundo o sinal de v_y.
Aqui v_x=4,2 e v_y=-2,0 (negativo → sul), então
\theta=\arctan\!\left(\frac{2,0}{4,2}\right)=\arctan(0,47619\ldots)\approx 25,5^\circ.
Interpretação de sentido: como v_x>0 e v_y<0, o vetor aponta para leste e para sul — ou seja, “sudeste” — e o ângulo é 25,5^\circ ao sul do leste. Em linguagem corrente: o barco se move com velocidade de 4,65\\ \mathrm{m/s} em direção 25,5^\circ ao sul do leste.

Passo 6

Calcular o tempo necessário para atravessar o rio.
Raciocínio físico: atravessar o rio (ir da margem oeste para a margem leste) significa deslocar-se na direção leste até cobrir a largura 800\\ \mathrm{m}. Só a componente leste da velocidade do barco em relação à Terra (ou em relação à água, neste caso são iguais porque a água não tem componente leste) contribui para esse deslocamento. Assim, o tempo t é
t=\frac{\text{largura}}{v_x}=\frac{800}{4,2}\\ \mathrm{s}.
Calcular:
t=\frac{800}{4,2}\approx 190,48\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos e segundos (opcional, para intuição):
190,48\\ \mathrm{s}=3\\ \text{minutos}\;10,48\\ \text{segundos}\approx 3\\ \text{min}\;10,5\\ \text{s}.
Explicação didática: mesmo que a água arraste o barco para o sul, isso não atrasa a travessia no sentido leste–oeste, porque a componente leste do movimento não foi reduzida.

Passo 7

Calcular a distância que o barco desloca para o sul durante a travessia.
Raciocínio: a componente sul da velocidade do barco em relação à Terra é 2,0\\ \mathrm{m/s}. Durante o tempo t obtido, o deslocamento para o sul é
\Delta y = v_{y}\, t = 2,0 \cdot \frac{800}{4,2}\\ \mathrm{m}.
Calcular:
\Delta y=\frac{1600}{4,2}\approx 380,95\\ \mathrm{m}\approx 381\\ \mathrm{m}.
Interpretação: ele vai atingir a margem oposta cerca de 381\\ \mathrm{m} ao sul do ponto de partida.

Passo 8

Resumo final dos valores com unidades e interpretação curta:
  • Módulo da velocidade em relação à Terra: \left|\vec{v}_{\text{barco/Terra}}\right|\approx 4,65\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção e sentido: 25,5^\circ ao sul do leste (ou seja, sentido sudeste).
  • Tempo para atravessar: t\approx 190,48\\ \mathrm{s} (aprox. 3\\ \text{min}\;10,5\\ \text{s}).
  • Distância ao sul onde atinge a outra margem: \approx 381\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 4,65\\ \mathrm{m/s};\\\ 25,5^\circ ao sul do leste (sudeste).
(b) 190,48\\ \mathrm{s} \approx 3\\ \text{min}\;10{,}5\\ \text{s}.
(c) 381\\ \mathrm{m}.

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