Cargas puntiformes de -5,0 mu C, 3,0 mu C e 5,0 mu C são localizadas ao longo do eixo x em x=-1,0cm, x=0 e x=1,0cm, respectivamente. Determine o campo elétrico em x=15,0cm como o vetor soma dos campos elétricos devidos a um dipolo formado pelas duas cargas de 5,0 mu C e a uma carga puntiforme de 3,0 mu C, ambos localizados na origem. Compare seu resultado com o obtido no item (a) e explique qualquer diferença entre esses dois procedimentos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três cargas puntiformes ao longo do eixo x:
  • q1=-5,0;mu C em x=-1,0;cm,
  • q2=3,0;mu C em x=0,
  • q3=5,0;mu C em x=1,0;cm.
O que a questão pede é achar o campo elétrico em x=15,0;cm de duas formas diferentes:
a) somando diretamente o campo de cada carga (isto é parte (a) que já foi feita antes);
b) agora somando só o campo de um dipolo formado pelas cargas pm5,0;mu C (que estão em -1,cm e +1,cm) mais o campo da carga de 3,0;mu C em 0.
Os conteúdos que vamos usar são:
  1. Lei de Coulomb e campo de carga pontual vec E( r)=k,qr^2,hat r, k=14pivarepsilon0approx9,0times10^9;rm SI,
    2) Aproximação de dipolo elétrico no eixo (quando estamos muito longe, zgg d):
    Erm dip(z)approx14pivarepsilon0,2,pz^3,onde o momento de dipolo é p=q,d (lado a lado entre cargas +q e -q).

Passo 2

Primeiro, só para termos valor de comparação (parte a), somamos o campo exato de cada carga em x=15,cm (ou 0,15,m):
  1. De q1=-5,mu C a x=-1,cm:
    r1=0,15-(-0,01)=0,16;rm m, E1 = k|q1|r1^2 =9times10^95times10^-6(0,16)^2 approx1,76times10^6;rm N/C
    Como q1 é negativa, o campo aponta em direção a ela (isto é, para a esquerda, -,hat x):
    vec E1=-1,76times10^6,hat x;rm N/C
  2. De q2=3,mu C em 0:
    r2=0,15;rm m, E2 =9times10^93times10^-6(0,15)^2 approx1,20times10^6;rm N/C,
    aponta para a direita ( +,hat x):
    vec E2=+1,20times10^6,hat x;rm N/C
  3. De q3=+5,mu C em +1,cm:
    r3=0,15-0,01=0,14;rm m, E3 =9times10^95times10^-6(0,14)^2 approx2,30times10^6;rm N/C,
    aponta para a direita ( +,hat x):
    vec E3=+2,30times10^6,hat x;rm N/C
Somando:
vec Erm total =vec E1+vec E2+vec E3 =(-1,76+1,20+2,30)times10^6,hat x approx1,74times10^6,hat x;rm N/C

Passo 3

Agora, entra o método do dipolo + carga única:
  1. Dipolo de cargas pm5,mu C separadas por d=2,cm ( 0,02,m).
    p=q,d =5times10^-6times0,02 =1,0times10^-7;rm Ccdot m
    Como 15,cm gg2,cm, usamos
    $$E_{\rm dip}(z)
    \approx\frac1{4\pi\varepsilon_0},\frac{2,p}{z^3}
    =9{\times}109\frac{2\times1{,}0\times10{-7}}{(0{,}15)^3}
    \approx5{,}33\times10^5;{\rm N/C},$$
    apontando para a direita (mesma direção do dipolo, do – para o +).
  2. Carga Erm dip(z) approx14pivarepsilon0,2,pz^3 =9times10^92times1,0times10^-7(0,15)^3 approx5,33times10^5;rm N/C, em q2=3,mu C, já calculada:
    0
Somando dipolo + vec E2=+1,20times10^6,hat x;rm N/C:
q2

Passo 4

Comparando os dois resultados:
  • Soma exata das três cargas: 1,74times10^6,hat x;N/C
  • Dipolo + carga única: 1,73times10^6,hat x;N/C
Eles quase coincidem (diferença sim0,3%). Esse desvio pequeno vem do fato de que a fórmula de dipolo é uma aproximação válida para zgg d, aí a gente despreza termos de ordem mais alta em d/z. Como 15,cm é bem maior que 2,cm, a aproximação fica bem boa, mas não exata.

Resposta

vec E(15,cm)approx1,74times10^6,hat x;N/C.

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