Uma esfera de massa M e uma barra fina e homogênia de massa m estão alinhadas radialmente uma em relação à outra. A barra tem comprimento L e sua extremidade mais próxima encontra-se à distância d do centro da esfera (a outra extremidade está à distância d+L ). Calcule a força gravitacional entre esses dois corpos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: tem uma esfera de massa e, radially ligado a ela, uma barra fina e homogênea de massa e comprimento . A ponta da barra mais próxima do centro da esfera está a uma distância , e a outra ponta a . A questão é: qual é a força gravitacional entre esses dois corpos?
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e cálculo de integrais. Vamos precisar da densidade linear da barra, da fórmula da força entre um ponto e um elemento de massa, e integrar tudo ao longo do comprimento da barra.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal de Newton:
dF = G,M,dmr^2
onde lambda = mL, é um pedacinho de massa da barra a uma distância dm = lambda,dr = mL,dr do centro da esfera. Como a barra é homogênea, sua densidade linear é
dF = G,Mr^2,mL,dr
então um pequeno pedaço de barra de comprimento tem massa
Substituindo em , temos

Passo 3

Agora integramos F ;=; integralr=d^r=d+L G,Mr^2,mL,dr ;=;G,M,mLintegrald^d+Ldrr^2 ao longo de F = G,M,mLl[-1rr]d^d+L = G,M,mLl(1d-1d+Lr) que vai de até :
A integral de é , então

Resposta

boxedF = G,M,mLl(1d - 1d+Lr)

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