Uma esfera de massa
e uma barra fina e homogênia de massa m estão alinhadas radialmente uma em relação à outra. A barra tem comprimento
sua extremidade mais próxima encontra-se à distância d do centro da esfera (a outra extremidade está à distância
). Calcule a força gravitacional entre esses dois corpos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: tem uma esfera de massa
e, radially ligado a ela, uma barra fina e homogênea de massa
e comprimento
. A ponta da barra mais próxima do centro da esfera está a uma distância
, e a outra ponta a
. A questão é: qual é a força gravitacional entre esses dois corpos?
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e cálculo de integrais. Vamos precisar da densidade linear da barra, da fórmula da força entre um ponto e um elemento de massa, e integrar tudo ao longo do comprimento da barra.
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal e cálculo de integrais. Vamos precisar da densidade linear da barra, da fórmula da força entre um ponto e um elemento de massa, e integrar tudo ao longo do comprimento da barra.
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é um pedacinho de massa da barra a uma distância
do centro da esfera. Como a barra é homogênea, sua densidade linear é
então um pequeno pedaço de barra de comprimento
tem massa
Substituindo em
, temos
Passo 3
Agora integramos
ao longo de
que vai de
até
:
A integral de
é
, então