Mostre que, supondo uma função de onda do tipo Psi(x, t)=psi(x) cdot phi(t) em sistemas em que o potencial não depende do tempo, é possível se obter a equação de Schrödinger independente do tempo somente para a parte espacial da função, ou seja, para psi(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se a função de onda for do tipo Psi(x, t) = psi(x) cdot phi(t) em sistemas onde o potencial não depende do tempo, dá para obter a equação de Schrödinger independente do tempo só para a parte espacial psi(x). Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre separação de variáveis na equação de Schrödinger.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial V(x) que não depende do tempo:
ihbar partial Psi(x, t)partial t = -hbar^22m partial^2 Psi(x, t)partial x^2 + V(x) Psi(x, t)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e Psi(x, t) é a função de onda que depende de posição x e tempo t.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda proposta Psi(x, t) = psi(x) cdot phi(t) na equação de Schrödinger:
ihbar partial (psi(x)phi(t))partial t = -hbar^22m partial^2 (psi(x)phi(t))partial x^2 + V(x) psi(x)phi(t)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas. Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
partial (psi(x)phi(t))partial t = psi(x) dphi(t)dt
E a derivada segunda em relação à posição:
partial^2 (psi(x)phi(t))partial x^2 = phi(t) d^2psi(x)dx^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger, temos:
ihbar psi(x) dphi(t)dt = -hbar^22m phi(t) d^2psi(x)dx^2 + V(x) psi(x)phi(t)

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por psi(x)phi(t) para separar as variáveis:
ihbar 1phi(t) dphi(t)dt = -hbar^22m 1psi(x) d^2psi(x)dx^2 + V(x)

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação depende apenas de t e o lado direito depende apenas de x. Para que isso seja verdadeiro para todos os x e t, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamamos de E (energia).
Então, temos duas equações:
Para o tempo:
ihbar 1phi(t) dphi(t)dt = E
Para o espaço:
-hbar^22m 1psi(x) d^2psi(x)dx^2 + V(x) = E

Passo 8

Concentrando na parte espacial, multiplicamos todos os termos por psi(x):
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Essa é a Equação de Schrödinger Independente do Tempo para a parte espacial psi(x).

Resposta

Assim, mostramos que a função espacial psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)

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