Mostre que, supondo uma função de onda do tipo
em sistemas em que o potencial não depende do tempo, é possível se obter a equação de Schrödinger independente do tempo somente para a parte espacial da função, ou seja, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se a função de onda for do tipo
em sistemas onde o potencial não depende do tempo, dá para obter a equação de Schrödinger independente do tempo só para a parte espacial
. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre separação de variáveis na equação de Schrödinger.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial
que não depende do tempo:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a função de onda que depende de posição
e tempo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda proposta
na equação de Schrödinger:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas. Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
E a derivada segunda em relação à posição:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger, temos:
Passo 6
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. Para que isso seja verdadeiro para todos os
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamamos de
(energia).
Então, temos duas equações:
Para o tempo:
Para o espaço:
Passo 8
Concentrando na parte espacial, multiplicamos todos os termos por
:
Essa é a Equação de Schrödinger Independente do Tempo para a parte espacial
.
Resposta
Assim, mostramos que a função espacial
satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo: