Cargas q1=q, q2=2 q e q3=3 q situam-se nos vértices de um triângulo equilátero de lado l. Uma carga Q é colocada no centro do triângulo. Escolhendo os eixos x e y horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente, calcule a força (i.e. o vetor!) eletrostática resultante sobre a carga Q:
Colocando a origem dos eixos sobre a carga 3q e escrevendo o vetor posição de cada carga ( rQ, r1, r2 e r3) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem três cargas elétricas $ q_1 = q $, $ q_2 = 2q $ e $ q_3 = 3q $ posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $ l $. No centro do triângulo, tem uma carga $ Q $. Queremos descobrir qual é a força eletrostática resultante que atua sobre a carga $ Q $. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, entender como trabalhar com vetores e coordenadas cartesianas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos configurar o sistema de coordenadas. A origem $ O $ vai estar no vértice onde está a carga $ q_3 = 3q $. Vamos chamar esse vértice de ponto $ C $. Como o triângulo é equilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento $ l $, e os ângulos internos são de $ 60^\circ $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de cada carga no sistema cartesiano:
  • Carga $ q_3 = 3q $: Está na origem, então $ \overrightarrow{r_3} = (0, 0) $.
  • Carga $ q_1 = q $: Está em um dos vértices. Como o triângulo é equilátero, a distância entre $ q_3 $ e $ q_1 $ é $ l $. Vamos posicionar $ q_1 $ no eixo $ x $, então $ \overrightarrow{r_1} = (l, 0) $.
  • Carga $ q_2 = 2q $: Está no último vértice. Como o triângulo é equilátero, a altura do triângulo é $ h = \frac{\sqrt{3}}{2}l $. Então, as coordenadas de $ q_2 $ são $ \overrightarrow{r_2} = \left(\frac{l}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}l\right) $.
  • Carga $ Q $: Está no centro do triângulo. As coordenadas do centro em um triângulo equilátero são a média das coordenadas dos vértices. Assim,
    q3 = 3q

Passo 4

Agora, vamos determinar os vetores posição das cargas em relação a $ Q $:
  • Do $ q_1 $ para $ Q $:
    Q
  • Do $ q_2 $ para $ Q $:
    q1
  • Do $ q_3 $ para $ Q $:
    Q

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para cada interação de força entre $ Q $ e as outras cargas. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas $ q $ e $ Q $ é dada por:
Q
onde:
  • $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
  • $ \vec{r} $ é o vetor posição que vai de $ Q $ até a carga que está exercendo a força,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{r} $.
Vamos calcular cada força:
  • Força de $ q_1 $ sobre $ Q $:
    q
  • Força de $ q_2 $ sobre $ Q $:
    Q
  • Força de $ q_3 $ sobre $ Q $:
    F = ke q Q|r|^2 r

Passo 6

Vamos calcular os módulos dos vetores posição:
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q1}} $:
    rQ1
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q2}} $:
    |rQ1| = raiz(-l2)^2 + (raiz3l6)^2 = raizl^24 + 3l^236 = raizl^24 + l^212 = raiz3l^2 + l^212 = raiz4l^212 = lraiz3
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q3}} $:
    rQ2
Percebeu como todas as distâncias são iguais? Isso acontece porque $ Q $ está no centro do triângulo equilátero.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores unitários $ \hat{r} $:
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q1}} $:
    r
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q2}} $:
    rQ1
  • Para $ \overrightarrow{r_{Q3}} $:
    rQ1 = rQ1|rQ1| = (-l/2l/raiz3, raiz3l/6l/raiz3) = (-raiz32, 12)

Passo 8

Agora, substituímos tudo na fórmula da força:
  • Força $ \vec{F_1} $:
    F1
  • Força $ \vec{F_2} $:
    F1 = ke qQ(l/raiz3)^2 cdot (-raiz32, 12) = ke 3qQl^2 cdot (-raiz32, 12)
  • Força $ \vec{F_3} $:
    F2

Passo 9

Vamos simplificar as expressões das forças:
  • $ \vec{F_1} $:
    F1
  • $ \vec{F_2} $:
    F1 = 3ke qQl^2 (-raiz32, 12) = (-3raiz3ke qQ2l^2, 3ke qQ2l^2)
  • $ \vec{F_3} $:
    F2

Passo 10

Agora, somamos todas as forças vetoriais para encontrar a força resultante $ \vec{F_{res}} $:
Fres
Vamos somar as componentes $ x $ e $ y $ separadamente:
  • Componente $ x $:
    Fres = F1 + F2 + F3
  • Componente $ y $:
    x

Resposta

A força eletrostática resultante sobre a carga $ Q $ é:
Q
Isso significa que a força atua apenas na direção positiva do eixo $ x $ com magnitude Fres = (3raiz3ke qQl^2, , 0) , N .

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