Cargas e situam-se nos vértices de um triângulo equilátero de lado . Uma carga é colocada no centro do triângulo. Escolhendo os eixos e horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente, calcule a força (i.e. o vetor!) eletrostática resultante sobre a carga :
Colocando a origem dos eixos sobre a carga e escrevendo o vetor posição de cada carga ( e ) em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem três cargas elétricas $ q_1 = q $, $ q_2 = 2q $ e $ q_3 = 3q $ posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $ l $. No centro do triângulo, tem uma carga $ Q $. Queremos descobrir qual é a força eletrostática resultante que atua sobre a carga $ Q $. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, entender como trabalhar com vetores e coordenadas cartesianas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos configurar o sistema de coordenadas. A origem $ O $ vai estar no vértice onde está a carga $ q_3 = 3q $. Vamos chamar esse vértice de ponto $ C $. Como o triângulo é equilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento $ l $, e os ângulos internos são de $ 60^\circ $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas de cada carga no sistema cartesiano:
Carga $ q_3 = 3q $: Está na origem, então $ \overrightarrow{r_3} = (0, 0) $.
Carga $ q_1 = q $: Está em um dos vértices. Como o triângulo é equilátero, a distância entre $ q_3 $ e $ q_1 $ é $ l $. Vamos posicionar $ q_1 $ no eixo $ x $, então $ \overrightarrow{r_1} = (l, 0) $.
Carga $ q_2 = 2q $: Está no último vértice. Como o triângulo é equilátero, a altura do triângulo é $ h = \frac{\sqrt{3}}{2}l $. Então, as coordenadas de $ q_2 $ são $ \overrightarrow{r_2} = \left(\frac{l}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}l\right) $.
Carga $ Q $: Está no centro do triângulo. As coordenadas do centro em um triângulo equilátero são a média das coordenadas dos vértices. Assim,
Passo 4
Agora, vamos determinar os vetores posição das cargas em relação a $ Q $:
Do $ q_1 $ para $ Q $:
Q
Do $ q_2 $ para $ Q $:
q1
Do $ q_3 $ para $ Q $:
Q
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para cada interação de força entre $ Q $ e as outras cargas. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas $ q $ e $ Q $ é dada por:
Q
onde:
$ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $),
$ \vec{r} $ é o vetor posição que vai de $ Q $ até a carga que está exercendo a força,
$ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{r} $.