Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares
:
Inverta a relação obtida no item
e, utilizando também o obtido no item a, escreva o vetor posição
em termos das coordenadas e versores polares.
Inverta a relação obtida no item
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício sobre coordenadas polares
. A gente precisa inverter uma relação que foi dada anteriormente (no item b) e, usando também o que foi obtido no item a, reescrever o vetor posição
em termos das coordenadas polares e dos versores polares. Basicamente, vamos converter a forma do vetor de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e como os versores mudam nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas polar e cartesiana estão relacionadas. Em coordenadas cartesianas, a posição de um ponto é dada por
, enquanto em coordenadas polares, usamos
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo .
As relações entre elas são:
Essas fórmulas nos permitem converter de coordenadas polares para cartesianas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os versores. Na base cartesiana, usamos
e
como vetores unitários nos eixos
e
, respectivamente. Em coordenadas polares, a gente usa
e
, que são os versores radial e angular.
Esses versores se relacionam com os versores cartesianas assim:
Essas expressões mostram como os versores polares são combinações lineares dos versores cartesianas.
Passo 4
A próxima etapa é inverter a relação que temos. Sabemos que:
Isso significa que podemos expressar os versores cartesianas em termos dos versores polares.
Passo 5
Agora, vamos reescrever o vetor posição
usando as relações que acabamos de encontrar.
Substituindo
e
pelas expressões em coordenadas polares:
Então:
Passo 6
Substituímos agora as expressões de
e
em termos dos versores polares:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Sabemos que:
Resposta
Portanto, o vetor posição em coordenadas polares fica: