Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares (r, theta) :
Inverta a relação obtida no item b e, utilizando também o obtido no item a, escreva o vetor posição r=x i+y j em termos das coordenadas e versores polares.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício sobre coordenadas polares (r, theta). A gente precisa inverter uma relação que foi dada anteriormente (no item b) e, usando também o que foi obtido no item a, reescrever o vetor posição r = x i + y j em termos das coordenadas polares e dos versores polares. Basicamente, vamos converter a forma do vetor de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e como os versores mudam nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas polar e cartesiana estão relacionadas. Em coordenadas cartesianas, a posição de um ponto é dada por (x, y), enquanto em coordenadas polares, usamos (r, theta), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo x.
As relações entre elas são:
x = r costheta
y = r sintheta
Essas fórmulas nos permitem converter de coordenadas polares para cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os versores. Na base cartesiana, usamos i e j como vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente. Em coordenadas polares, a gente usa er e etheta, que são os versores radial e angular.
Esses versores se relacionam com os versores cartesianas assim:
er = costheta , i + sintheta , j
etheta = -sintheta , i + costheta , j
Essas expressões mostram como os versores polares são combinações lineares dos versores cartesianas.

Passo 4

A próxima etapa é inverter a relação que temos. Sabemos que:
i = costheta , er - sintheta , etheta
j = sintheta , er + costheta , etheta
Isso significa que podemos expressar os versores cartesianas em termos dos versores polares.

Passo 5

Agora, vamos reescrever o vetor posição r = x i + y j usando as relações que acabamos de encontrar.
Substituindo x e y pelas expressões em coordenadas polares:
x = r costheta
y = r sintheta
Então:
r = (r costheta) i + (r sintheta) j

Passo 6

Substituímos agora as expressões de i e j em termos dos versores polares:
r = r costheta (costheta , er - sintheta , etheta) + r sintheta (sintheta , er + costheta , etheta)

Passo 7

Vamos distribuir os termos:
r = r cos^2theta , er - r costheta sintheta , etheta + r sin^2theta , er + r sintheta costheta , etheta

Passo 8

Agora, combinamos os termos semelhantes:
r = r (cos^2theta + sin^2theta) , er + (-r costheta sintheta + r sintheta costheta) , etheta
Sabemos que:
cos^2theta + sin^2theta = 1
-r costheta sintheta + r sintheta costheta = 0

Resposta

Portanto, o vetor posição em coordenadas polares fica:
r = r , er

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