Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares (r, theta) :
Desenhe os versores polares junto aos cartesianos escreva r e theta em função de i, j e theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar os versores polares junto aos cartesianos e escrever r e theta em função de i, j e theta. Então, estamos lidando com coordenadas polares e cartesianas, e precisamos relacionar os vetores unitários desses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os versores. Em coordenadas cartesianas, temos os versores i e j que apontam nas direções dos eixos X e Y, respectivamente. Já em coordenadas polares, temos os versores r e theta, onde r aponta na direção radial (saindo da origem) e theta aponta na direção angular (perpendicular a r).

Passo 3

Para relacionar r e theta com i e j, vamos usar as relações trigonométricas básicas do círculo unitário. Se imaginarmos um ângulo theta a partir do eixo X positivo, as projeções desse ângulo nas direções X e Y são dadas por costheta e sintheta, respectivamente.

Passo 4

Então, o versor r, que aponta na direção do ângulo theta, pode ser escrito como uma combinação linear das direções X e Y:
r = costheta , i + sintheta , j

Passo 5

Agora, o versor theta, que é perpendicular a r e aponta na direção da variação angular, pode ser obtido rotacionando r em 90 graus no sentido anti-horário. Isso nos dá:
theta = -sintheta , i + costheta , j

Resposta

Portanto, os versores polares em função dos versores cartesianos são:
r = costheta , i + sintheta , j
theta = -sintheta , i + costheta , j

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