Carl Williams, o proprietário da Carl Williams Auto Sales, estima que com extensa publicidade televisiva, as vendas de automóveis no próximos 10 anos poderá aumentar a uma taxa de
f(t)=4+1.2 t+0.03 t^2(0 <= t <= 10)
mil carros/ano, daqui a um ano, em vez do atual taxa de
g(t)=4+0.8 t(0 <= t <= 10)
mil carros/ano, daqui a t anos. Descubra quantos carros a mais que Carl espera vender nos próximos 10 anos, implementando seus planos de publicidade.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão trata de cálculo de integrais aplicadas ao crescimento das vendas de automóveis ao longo de 10 anos. Para descobrir quantos carros a mais Carl espera vender com a publicidade, vamos precisar calcular a diferença entre as vendas previstas com e sem a publicidade, ou seja, integrar as funções de taxa de venda e ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representam as funções dadas:
  • : Essa é a taxa de vendas anual estimada com a publicidade.
  • : Essa é a taxa de vendas anual atual, sem a publicidade.
O objetivo é descobrir quantos carros a mais serão vendidos nos próximos 10 anos com a publicidade em comparação sem ela.

Passo 3

Para encontrar o número total de carros vendidos em 10 anos, precisamos integrar as funções de taxa de venda ao longo do tempo de 0 a 10 anos. A integral de uma função de taxa de venda nos dá o total de vendas nesse período.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^10 f(t) , dt = integral0^10 (4 + 1.2t + 0.03t^2) , dt de 0 a 10:
integral 4 , dt = 4t
Calculando cada termo separadamente:
integral 1.2t , dt = 1.2 cdot t^22 = 0.6t^2
integral 0.03t^2 , dt = 0.03 cdot t^33 = 0.01t^3
4t + 0.6t^2 + 0.01t^3 |0^10
Então, a integral de 4(10) + 0.6(10)^2 + 0.01(10)^3 = 40 + 60 + 1 = 101 é:
4(0) + 0.6(0)^2 + 0.01(0)^3 = 0
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a integral de de 0 a 10 é 101 mil carros.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral0^10 g(t) , dt = integral0^10 (4 + 0.8t) , dt de 0 a 10:
integral 4 , dt = 4t
Calculando cada termo separadamente:
integral 0.8t , dt = 0.8 cdot t^22 = 0.4t^2
4t + 0.4t^2 |0^10
Então, a integral de 4(10) + 0.4(10)^2 = 40 + 40 = 80 é:
4(0) + 0.4(0)^2 = 0
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a integral de de 0 a 10 é 80 mil carros.

Passo 6

Agora, para encontrar quantos carros a mais Carl espera vender com a publicidade, subtraímos o total sem publicidade do total com publicidade:
101 , mil carros - 80 , mil carros = 21 , mil carros

Resposta

Carl espera vender 21 mil carros a mais nos próximos 10 anos implementando seus planos de publicidade.

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